Posición y movimiento en el plano con vectores

1º Bachillerato Matemáticas I · Ciencias y Tecnología

Saberes (Decreto 40/2022): modelización de la posición y el movimiento de un objeto en el plano mediante vectores (sentido espacial).

Objetivos

Describir la posición en el plano con el modelo r(t) = r₀ + t·v.
Calcular una posición concreta y la rapidez como módulo de v.
Decidir si un punto está en la trayectoria, igualando coordenadas.

Explicación

El modelo, y solo el modelo

No hace falta el curso de cinemática. Aquí un móvil del plano queda descrito por dos vectores: la posición inicial r₀ = (x₀, y₀) y la velocidad constante v = (v_x, v_y). El parámetro t es un número real (en los ejemplos, t ≥ 0).

r(t) = r₀ + t·v
r₀ + t·v = (x₀ + t v_x, y₀ + t v_y).

La rapidez es el módulo de v: |v| = √(v_x² + v_y²). No cambia con t si v es constante. El vector desplazamiento entre t = 0 y t = T es T·v, y su módulo es T·|v|.

Datos de esta lección

Ejemplo fijado, no una medición de laboratorio: el móvil sale de (1, 2) con velocidad (3, −1).

x(t) = 1 + 3t, y(t) = 2 − t.

Glosas de esta lección

r(t) Vector de posición en el instante t. Tiene dos coordenadas.

t·v Producto del número t por el vector v: se multiplica cada coordenada.

|v| Módulo, la longitud del vector. |v| = √(v_x² + v_y²).

(x, y) Coordenadas cartesianas. La primera es la abscisa; la segunda, la ordenada.

Ejemplo 1 · Posición en t = 2 y rapidez

r(2) = (1, 2) + 2·(3, −1)
(1, 2) + 2·(3, −1) = (1, 2) + (6, −2)
(1, 2) + (6, −2) = (7, 0).
Coordenada a coordenada: 3 · 2 = 6
1 + 6 = 7;2 · (−1) = −2
2 + −2 = 0.
Rapidez: |v| = √(3² + (−1)²)
√(3² + (−1)²) = √(9 + 1)
√(9 + 1) = √10.
Desplazamiento en esas 2 unidades de tiempo: (6, −2). Módulo √(36 + 4) = √40 = √(4·10) = 2√10, que es 2·|v|.

Ejemplo 2 · ¿Pasa por (4, 1)?

Se plantea 1 + 3t = 4 y 2 − t = 1.
De la primera: 3t = 3, t = 1.
De la segunda: 2 − t = 1 implica t = 1. Las dos dan el mismo t.
Sí pasa por (4, 1), cuando t = 1. Comprueba: (1 + 3, 2 − 1) = (4, 1).

En cambio (5, 2) no está en la trayectoria: 1 + 3t = 5 da t
5 da t = 4/3, y entonces y = 2 − 4/3 = 2/3, que no es 2.

Error típico

Escribir r(2) = (1, 2) + (2, 2) = (3, 4), sumando t en las dos coordenadas, o perder el signo y hacer 2·(3, 1) = (6, 2), con lo que saldría (7, 4).

Corrección: t multiplica a v entero. v_y es −1, así que 2·(−1) = −2 y la ordenada es 2 − 2 = 0. La posición correcta es (7, 0), no (3, 4) ni (7, 4).

Práctica

El control de t mueve el punto sobre r(t) = (1, 2) + t·(3, −1). Anota la posición que lees y compruébala a mano.

t 0 r(0) = (1, 2)

Si tienes una placa (opcional)

El mismo modelo, a saltos de 0,1 en t. Números fijados en la lección: r₀ = (1, 2), v = (3, −1). Tras 20 vueltas, el incremento acumulado es 2·v y la posición es (7, 0). Sirve igual un Arduino o una Raspberry Pi que sume esas coordenadas.

float x = 1.0;
float y = 2.0;
void setup() { Serial.begin(9600); }
void loop() {
  x = x + 3.0 * 0.1;  /* t aumenta 0,1 */
  y = y - 1.0 * 0.1;
  Serial.print(x); Serial.print(" "); Serial.println(y);
  delay(100);
}

Comprueba

Comprueba · r(2)

Por qué: 1 + 6 = 7 y 2 − 2 = 0. El vector sumado es 2·(3, −1) = (6, −2). t multiplica al vector velocidad entero, no a una sola coordenada: cada unidad de tiempo añade una copia de v, las dos componentes a la vez. En dos unidades hay dos copias de (3, −1), por eso la abscisa crece 6 y la ordenada baja 2. Sumar t suelto en los dos ejes, o perder el signo de v_y, ya no es el modelo r(t) = r₀ + t·v. La posición es (7, 0).

Comprueba · módulo y desplazamiento

Por qué: 9 + 1 = 10, así que |v| = √10. En dos unidades de tiempo el desplazamiento mide √40 = 2√10.

Comprueba · el punto (4, 1)

Por qué: t = 1 cumple las dos coordenadas a la vez: 1 + 3 = 4 y 2 − 1 = 1. Las dos ecuaciones de coordenadas tienen que dar el mismo t. Cada una dice en qué instante el móvil alcanza esa abscisa o esa ordenada por separado. Si los dos t no coinciden, no hay un instante en el que el punto esté en las dos a la vez, y el punto no está en la trayectoria. Aquí sí coinciden, así que (4, 1) pertenece a r(t). Con (5, 2) no pasa: la abscisa pide t = 4/3 y en ese instante la ordenada no es 2.

Cierre

r(t) = r₀ + t·v da el punto. La rapidez es |v|, no una coordenada suelta. Un punto está en la trayectoria solo si existe un mismo t para las dos coordenadas.

Reto

Otro instante

Con el mismo móvil, calcula r(3) y comprueba que la distancia a r(0) es 3√10. Di si pasa por (10, −1): plantea las dos ecuaciones de t.

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