Conjetura geométrica y demostración

Objetivos

1. Distinguir una conjetura (algo que parece cierto) de una demostración (una cadena que vale para todos los casos).
2. Demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°, con una paralela al lado opuesto.
3. Usar ese resultado para hallar un ángulo que falta y un ángulo exterior.

Explicación

Conjetura no es demostración

Si mides tres triángulos y en los tres la suma sale cerca de 180°, tienes una conjetura: una sospecha razonable. No has demostrado nada, porque podrían existir otros triángulos que no hayas medido, y la medida arrastra error.

Una demostración parte de propiedades que ya están justificadas y llega a la conclusión para cualquier triángulo, sin depender del dibujo concreto.

El teorema que vamos a demostrar

En cualquier triángulo ABC, si α, β y γ son los ángulos en A, B y C, entonces α + β + γ = 180°. No se cita aquí otro teorema con nombre: la cadena es esta.

1. Sea ABC el triángulo. Por el vértice A se traza la recta r paralela al lado BC.
2. La recta AB corta a las dos paralelas (r y la recta BC). La inclinación de AB respecto de BC es β. Respecto de r, que es paralela a BC, la misma inclinación deja al otro lado de AB un ángulo igual a β: es el alterno interno. No hace falta medirlo; las paralelas no cambian esa inclinación de la transversal.
3. Igual con la transversal AC: el ángulo que forma con r, al otro lado de α, es igual a γ.
4. Esos tres ángulos quedan uno al lado del otro sobre la recta r: el igual a β, el propio α y el igual a γ. Juntos forman un ángulo llano, que es media vuelta sobre una recta y mide 180°.
5. Por tanto β + α + γ = 180°.

Esto vale para todo triángulo en el plano: la paralela se puede trazar siempre por A, y el ángulo llano no depende de lo largos que sean los lados.

Glosas de esta lección

∠ Ángulo. ∠BAC es el ángulo en A formado por los lados AB y AC.

∥ «Paralela a». r ∥ BC significa que r y la recta BC no se cortan y tienen la misma dirección.

° Grado sexagesimal. Un ángulo llano mide 180°.

α, β, γ Letras griegas usadas aquí como nombres de los tres ángulos del triángulo, no como incógnitas de una ecuación.

Ejemplo 1 · El ángulo que falta

En un triángulo, ∠B = 40° y ∠C = 60°. Halla ∠A.

1. Por el teorema demostrado: ∠A + 40° + 60° = 180°.
2. 40 + 60 = 100.
3. ∠A = 180 − 100
   180 − 100 = 80°.
4. Comprobación: 40 + 60 = 100
   100 + 80 = 180.

Ejemplo 2 · Ángulo exterior, como consecuencia

Un triángulo tiene ángulos de 50° y 60°. El tercer ángulo interior y el exterior adyacente a ese tercero se leen con el resultado anterior y con el ángulo llano. No se usa un teorema distinto sin demostrar.

1. Tercer ángulo interior: 180 − 50 = 130
   130 − 60 = 70°. Comprueba: 50 + 60 = 110 y 110 + 70 = 180.
2. Ese ángulo de 70° y el exterior adyacente (el que continúa el lado) forman un ángulo llano: exterior = 180 − 70 = 110°.
3. Los otros dos interiores suman 50 + 60 = 110°, lo mismo que el exterior. Cuadra porque ambos valen 180° − 70°.

Error típico

Práctica

Mueve β y γ. El tercer ángulo se calcula como 180° − β − γ y la figura marca la paralela por A. Escribe debajo por qué eso no es «mirar el dibujo», sino aplicar la demostración.

Comprueba

Cierre

Conjetura: parece verdad. Demostración: queda atada a un ángulo llano mediante la paralela. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°, y de ahí salen el ángulo que falta y el exterior adyacente.