Un vector del plano tiene módulo, dirección y sentido. De A(1, 2) a B(4, 6) el vector es AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4). Su módulo es √(9 + 16) = √25 = 5.
AB nombra el vector con origen en A y extremo en B. No es lo mismo que el segmento: el vector lleva sentido, de A hacia B.
La recta que pasa por A con vector director (3, 4) tiene ecuación vectorial
(x, y) = (1, 2) + t (3, 4), t real.
La pendiente es el cociente de componentes: m = 4/3. La explícita sale del punto A:
y − 2 = (4/3)(x − 1).
Despejando: y = (4/3)x − 4/3 + 2 = (4/3)x − 4/3 + 6/3 = (4/3)x + 2/3.
Un lugar es el conjunto de puntos que cumplen una condición. La circunferencia de centro (0, 0) y radio 5 es el lugar x2 + y2 = 25.
La mediatriz de AB es otro lugar: los puntos que equidistan de A y de B. Pasa por el punto medio (5/2, 4) y es perpendicular a (3, 4), así que su pendiente es −3/4. El punto P(−3/2, 7) está en ella: la distancia al cuadrado hasta A es (−5/2)2 + 52 =
25 / 4 = 25/4
100 / 4 = 25
25/4 + 25 = 125/4, y hasta B es (−11/2)2 + 12 =
121 / 4 = 121/4
4 / 4 = 1
121/4 + 1 = 125/4. Son iguales.
Vectorial: (x, y) = (1, 2) + t(3, 4).
Explícita en ese tercer punto: y = (4/3)·7 + 2/3 =28 / 3 = 28/3
2 / 3 = 2/3
28/3 + 2/3 = 30/3= 10. Cuadra con la coordenada y del vectorial.16 / 3 = 16/3
2 / 3 = 2/3
16 / 3 = 16/3
2 / 3 = 2/3
16/3 + 2/3 = 6
En B:
4 / 3 = 4/3
4/3 · 4 = 16/3
2 / 3 = 2/3
16/3 + 2/3 = 6.
Lugar: x2 + y2 = 25.
Invertir la pendiente y escribir m = 3/4, el avance partido por el desnivel. De (1, 2) a (4, 6) se sube 4 y se avanza 3, así que m = 4/3. Con 3/4, el punto B ya no cumple: (3/4)·4 + algo ajustado en A no pasa por y = 6. Compruébalo en la explícita buena: sale 6, no otra altura.
La recta por A y B, el vector (3, 4) y la circunferencia de radio 5 centrada en el origen. (3, 4) cae en la circunferencia; A(1, 2) cae dentro.
Elige t. El punto (1 + 3t, 2 + 4t) se mueve por la recta y se comprueba en y = (4/3)x + 2/3.
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Sumar t veces el director (3, 4) no te saca de la dirección de AB. t = 0 es A, t = 1 es B y t = 2 es (7, 10), que también cumple la explícita porque la y sale 10.
La pendiente es incremento vertical entre incremento horizontal. Aquí 4/3. La explícita y = (4/3)x + 2/3 devuelve 6 cuando x = 4, que es la altura de B. Si la fracción estuviera al revés, B se caería de la recta.
En la recta, alejarte en la dirección del vector sigue cumpliendo la ecuación. En x2 + y2 = 25 solo valen los puntos a distancia 5 del origen. (3, 4) suma 25 y entra; (1, 2) suma 5 y se queda fuera.
Escribe el razonamiento completo. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página.
AB = (3, 4), módulo 5. La recta es (x, y) = (1, 2) + t(3, 4) y también y = (4/3)x + 2/3. La circunferencia x2 + y2 = 25 contiene a (3, 4) y no a (1, 2). La mediatriz equidista: en P las dos distancias al cuadrado valen 125/4.
Calcula el punto de la recta cuando t = −1 y comprueba que cumple y = (4/3)x + 2/3. Di si ese punto está en la circunferencia de radio 5.
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