Un rectángulo tiene perímetro 20. Si los lados son x y z,
2(x + z) = 20, así que x + z = 10 y z = 10 − x.
El área es A(x) = x(10 − x) = 10x − x2, con x entre 0 y 10. En los extremos el rectángulo se aplasta: A(0) = 0 y A(10) = 0.
A(x) es el área en función del lado x. A′(x) es su derivada: dice si el área crece o decrece al alargar ese lado.
A′(x) = 10 − 2x. Se anula cuando 10 − 2x = 0, es decir 2x = 10 y x = 5. El otro lado es 10 − 5 = 5. Es un cuadrado.
A(5) = 5·5
5·5 = 25.
A′(x) = 2(5 − x). Si x < 5, A′(x) > 0: el área crece. Si x > 5, A′(x) < 0: el área decrece. El cambio de crecer a decrecer es un máximo.
La segunda derivada lo confirma: A″(x) = −2, que es negativa en todas partes, también en x = 5.
El área máxima es 25, cuando los dos lados miden 5.
¿Qué lados dan área 16, con el mismo perímetro 20?
x(10 − x) = 16 → 10x − x2 = 16 → x2 − 10x + 16 = 0.
Discriminante: 100 − 64 = 36
36 = 62. Raíces: (10 ± 6)/2.
Comprobación: 2·8 = 16 y 8·2 = 16. También (x − 2)(x − 8) = x2 − 10x + 16. Son soluciones, pero 16 < 25: no es el máximo.
Olvidar el 2 del perímetro y escribir x + (20 − x) = 20, con área x(20 − x). Entonces la derivada 20 − 2x se anula en x = 10 y el área sale 100. Ese rectángulo tiene perímetro 2(10 + 10) = 40, no 20. Con perímetro 20 el otro lado es 10 − x, no 20 − x.
Otro fallo: derivar x(10 − x) como si solo se derivara el primer factor, y obtener 10 − x = 0, o sea x = 10, donde el área es 0. La regla del producto da 1·(10 − x) + x·(−1) = 10 − 2x.
La parábola A(x) = x(10 − x) entre 0 y 10. El vértice está en (5, 25). Los puntos (4, 24) y (6, 24) quedan por debajo.
Mueve el lado x. El rectángulo y el punto sobre la parábola usan A = x(10 − x). El máximo marcado es 25.
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El perímetro es el doble de la suma de los lados. Si 2(x + z) = 20, entonces x + z = 10. Despejar z no es opcional: si no, el área depende de dos variables y la derivada de esta lección no se puede aplicar.
A′(5) = 0 solo dice que la pendiente es horizontal. El signo de A′ —positivo antes y negativo después— dice que se pasa de subir a bajar. A″(5) = −2 dice lo mismo en un solo número.
A(4) = 24 y A(6) = 24 son menores que 25. Sirven de comprobación, no de contraejemplo. El área 16 de los lados 2 y 8 también queda por debajo.
El óptimo de esta lección se puede contrastar con un dato medido. Fijas un cordel de perímetro 20 cm. Un sensor de ultrasonidos te devuelve un lado x en centímetros. El modelo dice que el otro lado es 10 − x y que el área es x(10 − x). La tabla no es un experimento inventado: es el modelo evaluado en lecturas posibles. El máximo sigue siendo el 25, cuando la lectura es 5 cm.
| Lectura x (cm) | 10 − x | Área del modelo |
|---|---|---|
| 3 | 7 | 21 |
| 4 | 6 | 24 |
| 5 | 5 | 25 |
| 6 | 4 | 24 |
| 7 | 3 | 21 |
El programa solo imprime la distancia. El máximo lo decides tú con A(x), no la placa.
// Arduino. Ultrasonidos: trig en 9, echo en 8.
// Imprime centímetros. El área la calculas tú: x*(10-x)
const int trig = 9;
const int echo = 8;
void setup() {
pinMode(trig, OUTPUT);
pinMode(echo, INPUT);
Serial.begin(9600);
}
void loop() {
digitalWrite(trig, LOW);
delayMicroseconds(2);
digitalWrite(trig, HIGH);
delayMicroseconds(10);
digitalWrite(trig, LOW);
long us = pulseIn(echo, HIGH, 30000);
float cm = us / 58.0;
Serial.println(cm);
delay(500);
}
Escribe el razonamiento completo. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página.
Con perímetro 20, A(x) = x(10 − x). La derivada 10 − 2x se anula en x = 5, el área vale 25, y el signo de la derivada justifica el máximo. A(4) = A(6) = 24.
Repite el razonamiento con perímetro 12. ¿Qué lado maximiza el área y cuánto vale esa área? Comprueba un vecino.
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