El logaritmo como exponente

Objetivos

• Leer un logaritmo como el exponente que hay que poner a la base.
• Usar el producto, el cociente y la potencia de logaritmos sin romper la definición.
• Cambiar de base cuando las dos bases se entienden en una tercera.
• Resolver un problema corto cuya incógnita es un exponente, y comprobarlo con la potencia inversa.

Explicación

El decreto pide comprender el logaritmo y usarlo para simplificar y resolver problemas. Aquí el logaritmo no es una tecla: es el nombre del exponente. Si la base está clara y el argumento es una potencia de esa base, el resultado es un entero y se puede revisar multiplicando.

Definición

log_b a = c significa, por definición, que b^c = a. Hace falta b > 0, b ≠ 1 y a > 0. No se define el logaritmo de 0 ni el de un negativo en los reales. Ejemplos directos: log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8; log₂ 32 = 5 porque 2⁵ = 32; log₃ 81 = 4 porque 3⁴ = 81; log₉ 81 = 2 porque 9² = 81.

En este curso, log sin base escrita significa logaritmo decimal, base 10, y ln significa logaritmo neperiano, base e. No hace falta el valor decimal de e para los ejercicios de esta lección: usaremos identidades exactas. Así log 100 = 2 porque 10² = 100, log 1000 = 3 porque 10³ = 1000, y log 10 = 1. También ln e = 1 y ln 1 = 0, porque e¹ = e y cualquier base positiva distinta de 1 elevada a 0 vale 1, así que log_b 1 = 0.

Propiedades que salen de la definición

Si los logaritmos existen, el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos: log_b(xy) = log_b x + log_b y. La razón es que los exponentes se suman cuando las bases iguales se multiplican. El logaritmo de un cociente es la resta: log_b(x/y) = log_b x − log_b y. El logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo: log_b(xⁿ) = n log_b x.

Estas igualdades no se extienden a una suma dentro del logaritmo. log_b(x + y) no es log_b x + log_b y. El error está más abajo, con números.

Cambio de base

Si c es otra base válida, log_b a = log_c a / log_c b. En particular log_b a = ln a / ln b = log a / log b. No es una fórmula para decorar: sirve cuando conoces los logaritmos en una base y quieres otra. Comprobación con enteros: log₉ 81 = log₃ 81 / log₃ 9
log₃ 81 / log₃ 9 = 4 / 2
4 / 2 = 2, y ya sabíamos que 9² = 81.

Un problema

Una cantidad se duplica cada hora, de forma exacta, a partir de 1 unidad. Se pregunta cuántas horas hacen falta para llegar a 64 unidades. La ecuación es 2ⁿ = 64. Por definición, n = log₂ 64. Como 64 = 2⁶, n = 6. Comprobación: 2⁶ = 64. No hay dato experimental inventado: es el modelo «se duplica», traducido a un exponente.

Glosa de los símbolos de esta lección

log_b a

Logaritmo en base b de a: el exponente c tal que b^c = a. Exige a > 0, b > 0 y b ≠ 1.

log

En este curso, logaritmo decimal: log a = log₁₀ a. Así log 100 = 2.

ln

Logaritmo neperiano: ln a = log_e a. ln e = 1 y ln 1 = 0.

e

Base del neperiano, real positivo distinto de 1. Aquí no se sustituye por un decimal.

b^c

La potencia que define al logaritmo: si log_b a = c, entonces b^c = a.

Ejemplo 1, paso a paso

Ejemplo 2, paso a paso

Error típico, corregido

Figura: la curva como lista de exponentes

Cada punto marca un par (potencia de 2, exponente). No es un dibujo aproximado de otros puntos: solo están los que salen de 2⁰, 2¹, 2² y 2³.

Práctica en la misma página

Elige el exponente n de 0 a 6. La figura marca 2ⁿ y escribe log₂(2ⁿ) = n. En la caja, resuelve log₂(48 / 3) con la propiedad del cociente y comprueba que da 4.

Clave local: bach1-mates-i-L02. No se envía a ningún sitio.

Comprueba

Mini cierre

El logaritmo responde «¿a qué exponente?». Suma con productos, resta con cocientes, y el cambio de base es un cociente de logaritmos. La suma dentro del paréntesis no se reparte. log es decimal y ln es neperiano.