La combinatoria como conteo

Objetivos

• Contar ordenaciones, selecciones ordenadas y selecciones sin orden con números pequeños.
• Calcular factoriales, variaciones y combinaciones por multiplicación, no solo por fórmula cerrada.
• Decidir si el orden importa antes de elegir la fórmula.
• Comprobar un resultado listando los casos cuando el número es pequeño.

Explicación

La combinatoria, en el sentido numérico, es una técnica de conteo. No hace falta un problema enorme: con 4, 5 o 6 elementos ya se ve la diferencia entre ordenar, elegir con orden y elegir sin orden. Aquí no se repiten elementos dentro de una misma selección.

Factorial

n! es el producto de los enteros de 1 a n. Así 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 y 6! = 720. El convenio 0! = 1 no es un capricho: hay una sola manera de ordenar el conjunto vacío, y además hace que las fórmulas de variaciones y combinaciones no se rompan cuando no se elige a nadie, o cuando se elige a todo el mundo. No calcules 0! como 0.

Permutaciones

Una permutación de n objetos distintos es una ordenación de todos. El primero se puede elegir de n maneras, el segundo de n − 1, y así hasta 1. Por eso P(n) = n!. Cinco libros distintos en una balda: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1. La cuenta intermedia es 5 · 4 = 20, 20 · 3 = 60, 60 · 2 = 120, 120 · 1 = 120.

Variaciones

Una variación de n elementos tomados de k en k es una selección ordenada, sin repetir. V(n, k) = n · (n − 1) · … · (n − k + 1), que es lo mismo que n! / (n − k)!. De 6 personas se elige presidente y secretario, cargos distintos: importa quién ocupa cada cargo.V(6, 2) = 6 · 5
6 · 5 = 30. Por factoriales: 6 · 5 = 30
30 · 4 = 120
120 · 3 = 360
360 · 2 = 720
4 · 3 = 12
12 · 2 = 24
720 / 24 = 30. Las dos vías coinciden.

Combinaciones

Una combinación no distingue el orden. C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!), o bien V(n, k) / k!. Elegir 2 delegados de un grupo de 5, sin cargos distintos: 5 · 4 = 20
2! = 2
20 / 2 = 10
C(5, 2) = 10. Por factoriales: 5 · 4 = 20
20 · 3 = 60
60 · 2 = 120
2! = 2
3 · 2 = 6
2 · 6 = 12
120 / 12 = 10. La lista cabe en una línea, con letras A, B, C, D, E: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Son 10. No hay BA porque es el mismo par que AB.

Casos de borde que conviene saber de memoria: C(n, 0) = 1, C(n, n) = 1 y C(n, 1) = n. Elegir a nadie, o elegir a todos, se puede hacer de una sola manera.

Glosa de los símbolos de esta lección

n!

Factorial de n: producto 1 · 2 · … · n. Convenio: 0! = 1.

P(n)

Permutaciones de n objetos distintos: P(n) = n!.

V(n, k)

Variaciones sin repetición: selecciones ordenadas de k elementos entre n. V(n, k) = n! / (n − k)!.

C(n, k)

Combinaciones sin repetición: selecciones de k elementos entre n en las que el orden no importa. C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!).

Ejemplo 1, paso a paso

Ejemplo 2, paso a paso

Error típico, corregido

Figura: el árbol de tres letras tomadas de dos en dos

Con A, B y C, las variaciones ordenadas son AB, AC, BA, BC, CA, CB: seis, que es 3 · 2. Las combinaciones son solo AB, AC y BC: tres, que es 6 / 2.

Práctica en la misma página

Elige n entre 1 y 6. La figura dibuja n casillas y el texto calcula n!. En la caja, calcula C(6, 2) de las dos maneras: (6 · 5) / 2 y 720 / (2 · 24).

Clave local: bach1-mates-i-L03. No se envía a ningún sitio.

Comprueba

Mini cierre

Si se ordena todo, factorial. Si se elige una parte y el orden importa, variación. Si el orden no importa, combinación: divide entre el factorial del tamaño del grupo. Con números pequeños, la lista manda sobre la memoria de la fórmula.