Completar el cuadrado en un caso numérico y comprobar la raíz en la ecuación original.
Verificar un primo de Germain comprobando divisores, y nombrar la barrera de acceso junto al teorema.
Comparar partes de un recuento antes de decidir una intervención, como en el argumento sanitario del esquema.
Una idea se estudia cuando se puede rehacer
La aportación histórica, en este curso, no es una lámina de nombres. Es un razonamiento que todavía se puede ejecutar, más la pregunta de quién pudo firmarlo, estudiarlo o ser creído. Inclusión es decir las dos cosas: la cuenta y la puerta que estaba cerrada.
completar el cuadrado = sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x · Al-Juarismi, Bagdad, siglo IX, da nombre a la palabra algoritmo · primo de Germain = p primo tal que 2p + 1 también es primo · el esquema de barras no es un dato de archivo: imita la estructura del argumento de Florence Nightingale, no una cita literal
En el cuadrado de la izquierda el lado desconocido es x y la franja añadida mide 5, la mitad de 10. El cuadrado grande mide (x + 5)². Como x² + 10x vale 39, al sumar la esquina 25 se obtiene 64, que es 8². De ahí x + 5 = 8 y x = 3, en la tradición de soluciones positivas con la que él trabajaba. La comprobación no es la biografía: 9 + 30 = 39.
Germain, ya en el París de entresiglos, no podía entrar en la École Polytechnique. Estudió y escribió como M. Le Blanc. Eso no es una anécdota de carácter: es una condición de acceso. El teorema que lleva su nombre se puede comprobar con divisores, y se dice con su nombre. Nightingale, por su parte, tuvo que volver visible un recuento para que la administración mirara las infecciones y no solo las heridas. El esquema de la derecha, con 72, 18 y 10 sobre 100 muertes de aula, es didáctico: sirve para rehacer la comparación, y no hay que presentarlo como si fuera una tabla transcrita del hospital de Escútari.
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Completar x² + 10x = 39
Resuelve x² + 10x = 39 completando el cuadrado, como en la figura, y comprueba la solución en la ecuación.
La mitad del coeficiente de x es 5, y 5² = 25. Se suma 25 a los dos lados: x² + 10x + 25 = 39 + 25.Glosa: la esquina de la figura es ese 25. Sin ella el lado no es x + 5 en los dos sentidos.
El miembro izquierdo es (x + 5)² y el derecho es 64. Entonces x + 5 = 8, tomando la raíz positiva que encaja con el cuadrado dibujado.Glosa: 8² = 64. La raíz negativa, −8, daría x = −13, que este texto geométrico del siglo IX no buscaba.
x = 8 − 5
8 − 5 = 3. Es la longitud que hace coherente la figura: el cuadrado interior de lado 3 y las franjas de anchura 5.Glosa: (x + 5) vale 8, que es el lado del cuadrado grande cuya área es 64.
Comprobación en la ecuación, no en la biografía: 3 · 3 = 9
10 · 3 = 30
9 + 30 = 39. La identidad cierra.Glosa: si la comprobación fallara, el error estaría en la mitad del coeficiente o en la raíz, y se podría localizar.
Ejemplo resuelto 2 — 29 es primo de Germain
Comprueba que 29 es primo y que 2 · 29 = 58
58 + 1 = 59 también lo es. Di qué barrera de acceso no queda demostrada con esa cuenta.
29 es primo si no lo dividen los primos hasta √29 ≈ 5,4, o sea 2, 3 y 5. 29 es impar, 2+9 = 11 no es múltiplo de 3, y no acaba en 0 ni en 5.Glosa: basta llegar a la raíz. Probar divisores hasta 28 es correcto y es trabajo de más.
2 · 29 = 58
58 + 1 = 59. √59 ≈ 7,7, así que se prueba hasta 7: impar, 5+9 = 14 no es múltiplo de 3, no acaba en 5, y 59/7 ≈ 8,4 no es entero.Glosa: 7·8 = 56, luego 59 − 56 = 3. No es múltiplo de 7.
Los dos son primos, así que 29 es un primo de Germain. La cuenta es el contenido matemático y se puede rehacer sin la biografía.Glosa: el nombre del concepto recuerda a quien lo trabajó. La definición es la pareja de primos.
La cuenta no demuestra que pudiera matricularse. La École Polytechnique no admitía mujeres y ella correspondió como M. Le Blanc. Nombrar el pseudónimo es parte de la historia del resultado, no un adorno.Glosa: inclusión es no separar el teorema de la puerta cerrada que condicionó cómo se firmó.
Ejemplo resuelto 3 — Dónde pesar la intervención
En el esquema didáctico de la derecha, de cada 100 muertes 72 son por enfermedad, 18 por heridas y 10 por otras causas. ¿Qué parte es la mayor y qué error sería atender solo la más llamativa?
72 + 18 = 90
90 + 10 = 100. Las tres barras agotan el esquema. La mayor es la enfermedad: 72/100 = 0,72.Glosa: 72 es el cuádruple de 18, porque 18·4 = 72. La barra ámbar es cuatro veces la verde en este dibujo.
Atender solo las heridas, que son el relato más visible del combate, dejaría sin tocar 72 de cada 100 muertes del esquema.Glosa: la parte llamativa no es la parte grande. Hay que comparar antes de elegir.
Nightingale usó diagramas para que esa comparación se viera. Este gráfico no reproduce sus cifras de archivo: imita la estructura del argumento, enfermedad frente a herida.Glosa: no se cita un 72 como si estuviera en el parte de Escútari. Se dice que es un esquema de aula.
La decisión, dentro del esquema, pone los recursos en la causa de mayor peso. Comunicar la matemática incluye elegir la comparación que la administración no quería mirar.Glosa: el diagrama es un acto de comunicación, no una decoración de un texto que ya hubiera convencido.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Otro cuadrado
Resuelve x² + 6x = 40 completando el cuadrado. Comprueba la solución positiva.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es sumar el cuadrado de la mitad de 6, no el cuadrado de 6. La mitad es 3 y 3² = 9, así que x² + 6x + 9 = 40 + 9 = 49. Entonces (x + 3)² = 49 y x + 3 = 7, luego x = 4. Comprobación: 6 · 4 = 24
16 + 24 = 40. Si se hubiera sumado 36, el miembro izquierdo no sería un cuadrado perfecto de (x + 3) y la raíz no correspondería a la ecuación. El mismo dibujo de la lección sirve, con franjas de anchura 3 y esquina 9 en vez de 5 y 25. La raíz negativa de 49 daría x = −10, que también satisface el álgebra moderna y que el método geométrico positivo de Al-Juarismi no estaba buscando.
2. ¿Y el 4? ¿Y el 3?
Di si 4 es un primo de Germain. Después comprueba el caso p = 3.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es exigir las dos cosas: que p sea primo y que 2p + 1 lo sea. 4 no es primo, porque 4 = 2·2, así que ya no puede ser un primo de Germain; además 2 · 4 = 8
8 + 1 = 9 = 3·3, tampoco primo. Con p = 3: 3 es primo y 2 · 3 = 6
6 + 1 = 7, que es primo (no lo dividen 2 ni 3). Luego 3 sí es un primo de Germain. No basta con que 2p + 1 salga primo si p no lo es, ni al revés. La definición es una pareja. Comprobarla es el mismo trabajo de divisores que con 29 y 59, en pequeño, y se puede hacer entero en el cuaderno sin apelar a la autoridad del nombre.
3. No cites: compara
Usando solo el esquema 72, 18 y 10, escribe el razonamiento por el que una medida centrada en las heridas deja fuera a la mayoría, sin atribuir el 72 a un archivo.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es comparar las tres partes del propio esquema y decir que es un esquema. Enfermedad 72, heridas 18, otras 10, suma 100. Una medida que solo alcance a las heridas se dirige a 18 de cada 100 muertes dibujadas y deja fuera las 72 de enfermedad, que son la mayoría y el cuádruple. Eso es el razonamiento. Lo que no se puede añadir es «Nightingale midió exactamente 72»: esta lección no ha mostrado ese parte, ha mostrado la estructura de su idea, que las causas no visibles pueden pesar más que las llamativas y que un diagrama obliga a mirarlas. Citar una cifra no hecha es peor comunicación científica que rehacer la comparación con datos declarados como de aula.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Qué número se suma al completar x² + 10x = 39 y qué solución positiva sale?
Se suma 25, el cuadrado de 5, y sale x = 3. Por qué: (x + 5)² = 39 + 25
39 + 25 = 64, así que x + 5 = 8 y x = 3. La comprobación es 9 + 30 = 39. La esquina de la figura es precisamente ese 25; sin ella el lado grande no cuadra.
¿Qué hay que comprobar para decir que 29 es primo de Germain, además de la biografía?
Que 29 es primo y que 59 = 2·29 + 1 también lo es, mirando divisores hasta la raíz. Por qué: la definición es esa pareja, no el relato. El relato añade otra cosa que la cuenta no demuestra: que la École Polytechnique no la admitía y que publicó como M. Le Blanc. Las dos frases hacen falta y no se sustituyen.
En el esquema de 100 muertes, ¿por qué no se atiende primero la causa más llamativa?
Porque las heridas son 18 y la enfermedad es 72. Por qué: 72 es la mayor parte y el cuádruple de 18. El esquema es didáctico, no un parte de archivo, y aun así el razonamiento se puede rehacer: una medida solo sobre las heridas deja fuera a la mayoría dibujada. Comparar precede a elegir.
Reto Profesor
La figura se puede rehacer
En el lienzo dibuja el cuadrado de x² + 6x = 40 con su esquina de 9, escribe x = 4 y, al lado, una frase que diga qué puerta se le cerró a Germain sin reducirla a una anécdota.