Clasificar matrices por su tamaño y citar la identidad.
Sumar y multiplicar por un escalar casilla a casilla.
Multiplicar matrices 2×2 por filas y columnas, y ver que el orden importa.
Una matriz es una tabla con reglas
Una matriz es un rectángulo de números ordenados en filas y columnas. El tamaño se dice «filas por columnas». No toda tabla de un periódico es una matriz en sentido algebraico, pero toda matriz se puede escribir como tabla.
A es 2×2, cuadrada · el elemento a₁₂ está en la fila 1 y la columna 2 · I₂ tiene unos en la diagonal y ceros fuera · el producto AB usa filas de A contra columnas de B
En esta lección A = [[2, 1], [0, 3]] y B = [[4, −1], [5, 2]]. Las dos son cuadradas de orden 2. La suma existe porque tienen el mismo tamaño: cada casilla se suma con la casilla del mismo sitio. El producto AB también existe porque las columnas de A (2) coinciden con las filas de B (2).
El gráfico dibuja las dos rejillas y el resultado. El 13 de la esquina superior izquierda de AB no es 2·4 a secas: es el producto escalar de la primera fila de A por la primera columna de B, 2·4 + 1·5. Cambiar el orden y calcular BA produce otra matriz.
Tipo
Tamaño de un ejemplo
Rasgo
Cuadrada
2×2, como A y B
mismo número de filas y de columnas
Fila
1×4
una sola fila
Columna
3×1
una sola columna
Identidad I₂
2×2
[[1, 0], [0, 1]]; cumple I₂·A = A
Nula
2×2
todos los elementos 0; elemento neutro de la suma
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Suma y doble
Con las matrices del gráfico, calcula A + B y 2A. Comprueba el tamaño del resultado.
La suma exige el mismo tamaño. Aquí ambos son 2×2, así que se puede sumar casilla a casilla.Glosa: si una fuera 2×3, la suma no estaría definida; no se «rellenan» ceros por nuestra cuenta salvo que el enunciado lo diga.
A + B = [[2+4, 1+(−1)], [0+5, 3+2]]
[[2+4, 1+(−1)], [0+5, 3+2]] = [[6, 0], [5, 5]].Glosa: el 1 y el −1 de la primera fila se cancelan; no se multiplican.
2A multiplica cada casilla por 2: [[4, 2], [0, 6]]. No es A + A escrito de otra forma casual: es la misma matriz, y sirve de comprobación porque A + A = [[4, 2], [0, 6]].Glosa: el escalar no se coloca como una casilla más; reparte su producto por todas.
El resultado de sumar sigue siendo 2×2. El de multiplicar por 2 también. El tamaño solo cambia, a veces, en el producto de matrices de tamaños distintos.Glosa: en este ejemplo no hay cambio de tamaño; no lo inventes.
Ejemplo resuelto 2 — El 13 del gráfico
Calcula las cuatro casillas de AB y explica de dónde sale el 0 de la primera fila.
Primera fila de A (2, 1) por primera columna de B (4, 5):
2 · 4 = 8
1 · 5 = 5
8 + 5 = 13.Glosa: es el camino que marcan los círculos y la línea discontinua del SVG.
Primera fila de A por segunda columna de B (−1, 2):
2 · (−1) = −2
1 · 2 = 2
−2 + 2 = 0.Glosa: el cero no significa «no se multiplica»; es una cancelación −2 + 2.
Segunda fila de A (0, 3) por las dos columnas: 0 · 4 = 0
3 · 5 = 15
0 + 15 = 15 y 0 · (−1) = 0
3 · 2 = 6
0 + 6 = 6.Glosa: el 0 de A anula el primer sumando; no anula la fila entera.
AB = [[13, 0], [15, 6]]. Comprueba la casilla 15: 3·5 = 15, porque el otro sumando lleva el 0 de A.Glosa: cada casilla del producto tiene su propia fila y su propia columna; no se copia un patrón.
Ejemplo resuelto 3 — El orden importa
Calcula BA y compáralo con AB. ¿Son la misma matriz?
BA multiplica filas de B por columnas de A. Primera casilla: fila (4, −1) por columna (2, 0): 4 · 2 = 8
(−1) · 0 = 0
8 + 0 = 8.Glosa: ahora la fila viene de B; no reutilices el 13.
Siguiente casilla de la primera fila: (4, −1) por (1, 3):
4 · 1 = 4
(−1) · 3 = −3
4 + −3 = 1.Glosa: ya no sale 0. El orden ha cambiado los compañeros de producto.
Segunda fila de B (5, 2) por las columnas de A: 5 · 2 = 10
2 · 0 = 0
10 + 0 = 10 y 5 · 1 = 5
2 · 3 = 6
5 + 6 = 11.Glosa: BA = [[8, 1], [10, 11]].
AB y BA son distintas. En matrices cuadradas el producto puede existir en los dos órdenes y aun así no conmutar.Glosa: la suma sí conmuta (A+B = B+A); el producto, no. No traslades la costumbre de los números.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Clasifica y suma
C = [[1, 0, 4], [2, −1, 3]] y D es 2×2. ¿Qué tamaño tiene C? ¿Existe C + D? ¿Y 3C?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
C tiene 2 filas y 3 columnas: es rectangular 2×3, no cuadrada. C + D no existe porque D es 2×2 y la suma pide el mismo número de filas y de columnas; no se recorta C para forzarla. 3C sí existe y es otra 2×3: cada casilla por 3, o sea [[3, 0, 12], [6, −3, 9]]. El paso decisivo es mirar el tamaño antes de operar, no después de haber sumado casillas que no se corresponden.
2. Una casilla del producto
Solo con A y B del gráfico, vuelve a obtener la casilla inferior derecha de AB y di qué fila y qué columna usaste.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
La casilla de la fila 2 y la columna 2 usa la segunda fila de A, que es (0, 3), y la segunda columna de B, que es (−1, 2). El producto escalar es 0 · (−1) = 0
3 · 2 = 6
0 + 6 = 6. No intervienen el 13 ni el 15: cada casilla tiene su par fila-columna. Si usas la primera fila de A obtendrías el 0 de arriba, que es otro elemento. Este es el mismo paso que en el ejemplo resuelto, cambiado de casilla para asegurar que no memorizas solo el 13.
3. Identidad
Multiplica I₂ = [[1, 0], [0, 1]] por A y explica por qué el resultado es A.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Fila (1, 0) de la identidad por las columnas de A copia la primera fila de A: 1 · 2 = 2
0 · 0 = 0
2 + 0 = 2 y 1 · 1 = 1
0 · 3 = 0
1 + 0 = 1. Fila (0, 1) copia la segunda: 0 · 2 = 0
1 · 0 = 0
0 + 0 = 0 y 0 · 1 = 0
1 · 3 = 3
0 + 3 = 3. Sale A. El paso general es que el 1 de la diagonal deja pasar la casilla correspondiente y el 0 apaga la otra. Por eso I₂ es el elemento neutro del producto, parecido al 1 de los números, y no se comporta como la matriz nula, que es el neutro de la suma.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿De dónde sale el 13 de AB en el gráfico?
De la primera fila de A por la primera columna de B: 2 · 4 = 8
1 · 5 = 5
8 + 5 = 13. Por qué: el producto de matrices no multiplica casillas del mismo sitio, como hace la suma. Combina una fila entera con una columna entera. Los círculos del SVG señalan el primer sumando de esa cuenta.
¿Por qué AB y BA no coinciden en este ejemplo?
Porque al cambiar el orden cambian las filas y las columnas que se emparejan. Por qué: BA da [[8, 1], [10, 11]] y AB da [[13, 0], [15, 6]]. Las dos existen (las dos matrices son 2×2) y aun así son distintas. El producto de matrices no hereda la conmutatividad del producto de números.
¿Se puede sumar una matriz 2×3 con una 2×2?
No. Por qué: la suma está definida casilla a casilla y cada casilla necesita compañera en el mismo sitio. Si sobra una columna, esa casilla no tiene pareja y la operación no está definida. El producto tiene otra condición: columnas de la primera iguales a filas de la segunda.
Reto Profesor
Rejilla propia
Dibuja en el lienzo dos matrices 2×2 distintas de A y B, calcula AB en el laboratorio y copia una casilla explicada como fila por columna.