Una potencia aⁿ repite el factor a, n veces. La raíz pregunta por la base: ¿qué número, elevado a n, da este resultado? El logaritmo pregunta por el exponente: ¿a qué hay que elevar la base para obtener ese resultado?
2 · 2 = 4
4 · 2 = 8
8 · 2 = 16
2⁴ = 16 · log₂(8) = 3 porque 2³ = 8 · √144 = 12 porque 12² = 144 · el logaritmo y la exponencial de la misma base se deshacen
En el gráfico, la curva ámbar no es una recta: cada paso de una unidad en x duplica la altura. Por eso el punto marcado es (4, 16) y no (4, 8). La curva verde es la inversa: intercambia el papel de la altura y del exponente. El punto (8, 3) se lee «hay que elevar 2 a 3 para llegar a 8».
Las propiedades no sustituyen al significado. log(a·b) = log a + log b cuando existe, pero log(a+b) no es log a + log b. Y una raíz cuadrada no es «dividir entre dos»: √144 es 12, mientras que 144/2 es 72.
| Pregunta | Operación | Ejemplo de esta lección |
|---|---|---|
| ¿Qué sale al repetir el factor? | potencia | 2⁴ = 16 |
| ¿Qué exponente falta? | logaritmo | log₂(8) = 3 |
| ¿Qué base falta? | raíz | √144 = 12 |
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Un cultivo tiene 1 unidad de masa al empezar la observación y duplica su masa cada hora. ¿Cuántas veces la masa inicial hay al cabo de 4 horas? Marca el punto en la curva ámbar.
Se cumple 2ˣ = 8. Halla x con un logaritmo y comprueba que el punto (8, 3) de la curva verde cuenta esa misma historia al revés.
Resuelve 3ˣ = 81. Después calcula √144 y explica por qué no vale 72.
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
El mismo cultivo duplica ahora durante 6 horas. Calcula 2⁶ y explica con una frase qué significa el resultado.
No multipliques 2 por 6. Parte de 2⁴ = 16, que ya está en el gráfico, y da dos duplicaciones más: 16·2 = 32 y 32·2 = 64. Así 2⁶ = 64: al cabo de 6 horas hay 64 veces la masa inicial. El paso que evita el error es encadenar multiplicaciones por 2, una por hora, en lugar de un producto por el número de horas.
Una noticia habla de 10 000 casos. Escribe 10 000 como potencia de 10 y halla log₁₀(10 000).
Cuenta los ceros, o mejor los factores 10: 10 000 = 10·10·10·10 = 10⁴. Por definición log₁₀(10⁴) = 4. El paso fino es no contar solo los ceros si el número no es un 1 seguido de ceros: aquí sí lo es, así que el exponente es 4. Comprobar es rehacer 10⁴ = 10 000. Decir que el logaritmo es 10 000, o 40, confunde el resultado con el exponente.
¿Cuánto es la raíz cúbica de 64? Justifica con una potencia y di qué error comete quien responde 32.
Busca un entero cuyo cubo sea 64.4 · 4 = 16
16 · 4 = 64
4³ = 64
4 · 4 = 16
16 · 4 = 64, luego la raíz cúbica es 4. Quien responde 32 ha dividido 64 entre 2, como si toda raíz fuera «partir por la mitad». El paso correcto es probar el cubo, no el cociente: 4·4 = 16 y 16·4 = 64. Comprueba que 32² ya es 1 024, y 32³ es enorme, así que 32 no puede ser la raíz cúbica de 64.
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
En la curva ámbar el exponente es la abscisa x; en la verde el exponente es la ordenada. Por qué: 2ˣ eleva la base al valor horizontal, así que en x = 4 la altura es 16. El logaritmo deshace eso y coloca el exponente en el eje vertical: log₂(8) = 3 se dibuja como el punto (8, 3).
Porque 2⁴ significa cuatro factores iguales a 2, no 2 por 4. Por qué: 2 · 2 = 4
4 · 2 = 8
8 · 2 = 16, mientras que 2·4 = 8 es un producto con un solo dos. En el cultivo, 8 sería el valor a las 3 horas (2³), no a las 4.
No. Por qué: la raíz cuadrada es el número que, multiplicado por sí mismo, recupera 144. 12·12 = 144, pero 72·72 es mucho mayor. 72 es la mitad, y partir entre dos no es la definición de raíz.
Elige algo que se duplique o se parta (rumor, ahorro, medio tiempo de un juego). Escribe la potencia o la raíz con una frase de significado y comprueba rehaciendo la operación inversa.
reto_id: bach1-mates-gen-L06