Frecuencia relativa frente a probabilidad teórica

Objetivos

1. Distinguir frecuencia relativa de probabilidad teórica.
2. Calcular la frecuencia relativa de un evento en una serie corta declarada.
3. Compararla con la probabilidad de Laplace del mismo evento, sin forzar la igualdad.

Explicación

Frecuencia frente a modelo

Si un suceso ocurre k veces en n ensayos, la frecuencia relativa es k/n. La probabilidad teórica es el número que el modelo asigna al suceso antes de contar (por ejemplo, 1/2 en una moneda equilibrada, o 1/6 en la cara de un dado cúbico). Con pocos ensayos, k/n suele apartarse del modelo; eso no «corrige» la probabilidad teórica.

La frecuencia relativa resume lo ya ocurrido y se mueve si alargas la serie o cambias el suceso. La probabilidad teórica no se entera de esa serie: sale del modelo, antes de contar. Acercarse no es igualarse. En la moneda, 3/5 − 1/2 = 1/10. Sobre 20 lanzamientos, 1/10 son dos caras de más respecto de 10 y 10. Esas dos caras bastan para separar la frecuencia del modelo. No autorizan a reescribir 1/2.

Tampoco se promedian a ojo la frecuencia y Laplace para quedar en un término medio. 3/5 y 1/2 tienen oficios distintos. Una es k/n de esta lista; la otra es el peso que el modelo da a cada cara cuando las dos son equiprobables. El ejemplo 3 cambia de experimento: un dado, suceso «par», otra lista corta, para ver el mismo desajuste con otras fracciones.

Ejemplo 1 · Veinte caras o cruces declaradas

Serie de 20 lanzamientos de moneda, cara = 1 y cruz = 0, datos de ejemplo:

1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1

1. Número de caras: 12.
2. n = 20.
3. Frecuencia relativa de cara: 12/20 = 3/5
   3/5 = 0,6.

Probabilidad teórica (moneda equilibrada, Laplace): 1/2. 3/5 ≠ 1/2. Con 20 tiros no tiene por qué coincidir.

Ejemplo 2 · Doce caras de un dado, múltiplos de 3

Serie declarada: 3, 6, 1, 3, 5, 6, 2, 3, 4, 6, 1, 6.

1. Múltiplos de 3: 3, 6, 3, 6, 3, 6, 6 → siete veces.
2. Frecuencia relativa: 7/12.
3. Probabilidad teórica (dado cúbico equilibrado): caras 3 y 6 son dos de seis, luego 2/6 = 1/3.

7/12 ≈ 0,583 y 1/3 ≈ 0,333. La frecuencia es mayor; el modelo sigue siendo 1/3. No reescribimos Laplace para que «encaje» con 7.

Ejemplo 3 · Diez caras de dado y el suceso «par»

Serie declarada, no lanzada en clase: 1, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 3, 2, 4. El suceso es «sale par». El modelo del dado cúbico equilibrado da P(par) = 3/6 = 1/2, porque 2, 4 y 6 son tres caras de seis.

1. Paso 1. Pares de la lista: 2, 2, 4, 6, 6, 2, 4. Son siete. Impares: 1, 5 y 3. Son tres. 7 + 3 = 10, que es n. No se ha perdido ninguna cara.
2. Paso 2. En x = 0, ŷ = 7/6 y el residuo es 1 − 7/6 = −1/6.
   En x = 1:
   (1/2) · 1 = 1/2
   1/2 + 7/6 = 10/6
   10/6 = 5/3
   El residuo es 2 − 5/3 = 1/3.
   En x = 2, ŷ = 1 + 7/6 = 13/6 y el residuo es 2 − 13/6 = −1/6.
3. Paso 3. Comparación con el modelo: 7/10 frente a 1/2. Diferencia 7/10 − 1/2 =
   14 / 20 = 7/10
   10 / 20 = 1/2
   7/10 − 1/2 = 4/20 = 1/5. En diez caras, cinco sería la mitad; han salido siete, dos más. 2/10 = 1/5, la misma diferencia. No se cambia 1/2 para que coincida con 7/10.

7/10 = 0,7 y 1/2 = 0,5. La distancia 0,2 es exactamente 1/5, no un redondeo. Quien escriba «casi un medio» está tapando dos caras de diferencia en una lista de diez. Con n pequeño, ese «casi» cabe en casi cualquier resultado. La lección pide las dos fracciones, no un adverbio.

Comprobación cruzada · los cuatro primeros de la misma moneda

La serie de veinte era 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1. Los cuatro primeros son 1, 0, 1, 1: tres caras. Frecuencia 3/4. En los veinte, la frecuencia es 12/20 = 3/5. El modelo sigue en 1/2. Tres números para el mismo suceso «cara», y solo uno de ellos es Laplace.

Distancias: 3 / 4 = 3/4
3 / 5 = 3/5
3/4 − 3/5 = 3/20.3 / 5 = 3/5
1 / 2 = 1/2
3/5 − 1/2 = 2/20.3 / 4 = 3/4
1 / 2 = 1/2
3/4 − 1/2 = 5/20. La lista corta de cuatro se aleja más del modelo que la lista de veinte (5/20 contra 2/20), que es lo que cabe esperar y no una ley para toda serie: es la cuenta de estas cifras. No se sustituye 1/2 por 3/4 porque «en el trozo inicial salió así». El trozo inicial es otra frecuencia, k = 3 y n = 4, no otro modelo.

La serie de veinte, partida en cuatro bloques de cinco, da una regularidad de esta lista concreta, no del modelo. Bloque 1: 1, 0, 1, 1, 0 → tres caras. Bloque 2: 1, 0, 0, 1, 1 → tres. Bloque 3: 1, 1, 0, 1, 0 → tres. Bloque 4: 0, 1, 0, 1, 1 → tres. Cada bloque tiene frecuencia 3/5, y 3 + 3 = 6
6 + 3 = 9
9 + 3 = 12, que es el total ya contado. Que los cuatro bloques coincidan no convierte 3/5 en la probabilidad teórica. El modelo sigue en 1/2, y 3/5 − 1/2 = 1/10 en cada bloque y en el total. Una lista puede ser estable y seguir apartada de Laplace.

Frecuencia acumulada de la misma moneda

La serie 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1 se puede leer en marcha. La columna k es el número de caras hasta ese lanzamiento.

En n = 2 y en n = 8 la frecuencia toca 1/2, que es Laplace, y en n = 20 ya no: es 3/5. Haber coincidido a mitad de camino no fija el modelo ni fija la frecuencia final.
12 / 20 = 3/5
10 / 20 = 1/2
3/5 − 1/2 = 2/20: sobran dos caras respecto de la mitad. El modelo no se reescribe por esas dos.

7/11, 8/13, 9/14, 9/16, 10/17, 11/19 no se simplifican con el 1/2 ni con el 3/5. Son frecuencias de paso. Solo algunas filas caen en una fracción ya vista: n = 5 y n = 15 dan 3/5, igual que el final; n = 8 da 1/2. Coincidir con Laplace en una fila no es «ya se estabilizó». La fila siguiente, n = 9, es 5/9, y 5/9 − 1/2 = 1/18. Se vuelve a separar en un solo lanzamiento, el noveno, que fue cara.

Algunas distancias al modelo, por si se leen como «casi».8 / 13 = 8/13
1 / 2 = 1/2
8/13 − 1/2 = 3/26.4 / 7 = 4/7
1 / 2 = 1/2
4/7 − 1/2 = 1/14.11 / 19 = 11/19
1 / 2 = 1/2
11/19 − 1/2 = 3/38. Ninguna es 0. La más pequeña de estas tres es 3/38, todavía un lanzamiento de diferencia sobre 19, no un empate con 1/2. Al final, 3/5 − 1/2 = 1/10, mayor que 3/38: la serie no se fue acercando de manera monótona. Por eso la tabla entera importa más que la última fila sola, y ninguna fila reescribe Laplace.

Error típico

Decir «la probabilidad es 3/5 porque salieron 12 caras». 3/5 es la frecuencia relativa de esta serie. La probabilidad teórica de cara, con el modelo equilibrado, sigue siendo 1/2. Otro fallo: forzar la serie a 10 caras y 10 cruces «para que salga bien».

Tu desarrollo

Escribe aquí los pasos, con unidades o fracciones. Puedes borrar el rótulo y usar el hueco como papel.

Comprueba

// Arduino Uno o Nano. Pulsador a GND en el pin 2 (INPUT_PULLUP).
// Cada pulsación cuenta un ensayo. Cara/cruz se decide por un umbral de A0
// (ruido del ADC) o, si prefieres, por un LED que indiques a mano.
const int boton = 2;
int ensayos = 0;
int caras = 0;
void setup() {
  pinMode(boton, INPUT_PULLUP);
  Serial.begin(9600);
}
void loop() {
  if (digitalRead(boton) == LOW) {
    ensayos++;
    int lectura = analogRead(A0);
    if (lectura >= 512) caras++;
    Serial.print(caras);
    Serial.print("/");
    Serial.println(ensayos);
    delay(300); // anti-rebote tosco
  }
}

Cierre

En la serie de moneda, la frecuencia de cara es 12/20 = 3/5; Laplace da 1/2. En el dado, 7/12 frente a 1/3. La frecuencia describe la muestra; el modelo no se reescribe para igualarla.