Seis lecturas a mano: media y desviación típica

Objetivos

1. Calcular la media de seis lecturas a mano.
2. Calcular la desviación típica del conjunto con divisor n, y contrastarla con la fórmula de Σx².
3. No cambiar esa desviación por la varianza ni por la cuasidesviación.

Explicación

Media y desviación típica de un conjunto completo

Estas seis lecturas son todo el conjunto que vamos a describir, no una muestra de la que falten datos. Por eso:

x̄ = (Σ xᵢ) / n    σ = √( Σ (xᵢ − x̄)² / n )

La varianza es σ², sin la raíz. La cuasidesviación muestral cambia el divisor a n − 1 y es otro número: no la uses aquí y la llames igual.

Fórmula equivalente, útil para comprobar: σ = √( (Σ xᵢ²)/n − x̄² ).

La suma de las desviaciones con signo vale 0 cuando la media está bien hecha: lo que sobra por encima se cancela con lo que falta por debajo. Esa suma no mide dispersión. El cuadrado hace que −5 y +5 pesen lo mismo, 25, y que un dato lejano pese más que varios cercanos. La raíz devuelve la unidad de partida, aquí grados. Sin la raíz el resultado queda en grados al cuadrado: eso es la varianza σ², no la desviación típica.

El divisor es n porque estas lecturas son todo el conjunto que se describe, no una muestra de la que falten datos. Cambiar el 6 por un 5 produce otro número, la cuasidesviación, y hay que nombrarlo distinto. Dos conjuntos pueden tener la misma media y desviaciones distintas: la media dice el centro, σ dice el alejamiento. Por eso el ejemplo 3 usa cuatro números cuya desviación sale entera, para contrastarla con el √11 de las seis temperaturas.

Ejemplo 1 · La media

Seis lecturas de temperatura, en grados Celsius, datos de ejemplo: 15, 18, 18, 21, 24, 24.

1. 15 + 18 = 33
   33 + 18 = 51
   51 + 21 = 72
   72 + 24 = 96
   96 + 24 = 120
   Σx = 120.
2. n = 6.
3. x̄ = 120/6
   120/6 = 20 °C.

Ejemplo 2 · La desviación típica, por dos fórmulas

Desviaciones respecto de 20: −5, −2, −2, +1, +4, +4. Suman 0, como tiene que ser.

Cuadrados: 25, 4, 4, 1, 16, 16. Suma = 66.

σ² = 66/6 = 11.   σ = √11. √11 ≈ 3,317 °C, pero el resultado exacto es √11.

Segunda fórmula: Σx² 225 + 324 = 549
549 + 324 = 873
873 + 441 = 1314
1314 + 576 = 1890
1890 + 576 = 2466. (Σx²)/n = 2466/6
2466/6 = 411. x̄² = 400. Varianza = 411 − 400 = 11. Otra vez σ = √11. Si las dos vías no coinciden, hay un cuadrado mal sumado.

Ejemplo 3 · Cuatro lecturas con desviación entera

Conjunto completo, datos de ejemplo: 10 °C, 10 °C, 20 °C, 20 °C. No son las seis temperaturas de arriba y no sustituyen a √11.

1. Paso 1.10 + 10 = 20
   20 + 20 = 40
   40 + 20 = 60
   Σx = 60. n = 4. x̄ = 60/4
   60/4 = 15 °C.
2. Paso 2. En x = 0, ŷ = 7/6 y el residuo es 1 − 7/6 = −1/6.
   En x = 1:
   (1/2) · 1 = 1/2
   1/2 + 7/6 = 10/6
   10/6 = 5/3
   El residuo es 2 − 5/3 = 1/3.
   En x = 2, ŷ = 1 + 7/6 = 13/6 y el residuo es 2 − 13/6 = −1/6.
3. Paso 3. Segunda fórmula: Σx² 100 + 100 = 200
   200 + 400 = 600
   600 + 400 = 1000. (Σx²)/n = 1000/4
   1000/4 = 250. x̄² = 225. 250 − 225 = 25, la misma varianza. σ = 5 otra vez. Si las dos vías no coinciden, hay un cuadrado mal hecho: 20² = 400, no 40.

Dividir 100 entre 3 «porque n − 1 = 3» da 100/3, que no es 25. La raíz de 100/3 no es 5. Ese divisor sería el de la cuasidesviación de una muestra, y estas cuatro lecturas se han tomado como el conjunto entero. El mismo cuidado que con las seis: no se cambia el divisor a mitad de la frase.

La media 15 no dice que los datos estén cerca de 15. Aquí ninguno vale 15: están a 5 °C, todos. Media y desviación cuentan historias distintas, y las dos caben en la misma lista.

Comprobación cruzada · se cambia un solo dato

Se sustituye el último 24 por 30 y se dejan los otros cinco: 15, 18, 18, 21, 24, 30. No es el conjunto del ejemplo 3 ni el del √11.120 − 24 = 96
96 + 30 = 126
Σx = 126. x̄ = 126/6
126/6 = 21 °C. La media sube 1 grado porque el dato nuevo está 6 por encima del antiguo y ese 6 se reparte entre 6 lecturas: 6/6 = 1.

Desviaciones respecto de 21: −6, −3, −3, 0, +3, +9. Suman 0. Cuadrados: 36, 9, 9, 0, 9, 81. Sum36 + 9 = 45
45 + 9 = 54
54 + 9 = 63
63 + 81 = 144
a = 144. σ² = 144/6 = 24. σ = √24 = 2√6, no √11 y no 5. Segunda fórmula: Σx² =
225+324+324+441+576+900.225+324 = 549
549 + 324 = 873
873 + 441 = 1314
1314 + 576 = 1890
1890 + 900 = 2790
2790/6 = 465. x̄² = 441. 465 − 441 = 24. Misma varianza. Un solo dato, el 30 en vez del 24, ha cambiado la media de 20 a 21 y la varianza de 11 a 24. La desviación no es un adorno de la media: se mueve por su cuenta.

La media de las seis temperaturas no nace de golpe. Entra dato a dato: 15; luego
15 + 18 = 33
33 / 2 = 33/2; luego 51/3 = 17; luego 72/4 = 18; luego 96/5; luego 120/6 = 20. 96/5 = 19,2. El último 24 empuja 19,2 hasta 20, porque 120 − 96 = 24 y ese 24 se reparte al pasar de 5 datos a 6. La desviación típica no se lee en esa lista de medias: una media que se va asentando en 20 puede esconder el √11. Hace falta la suma de cuadrados, 66, y el divisor 6.

96 / 5 = 96/5
96/5 − 20 = −4/5. El último dato, que vale 24, está 4 por encima de la media final 20, pero la media provisional estaba 4/5 por debajo. No es una contradicción: al entrar el sexto dato cambia el denominador. Quien deje la media en 96/5 porque «ya se veía el 20» se ha parado en n = 5.

La media, dato a dato

96/5 = 19,2. El sexto dato, otro 24, no es 20 y aun así la media pasa de 19,2 a 20: se reparte entre seis, no se copia. 120/6 = 20 cierra la lista. Parar en la fila n = 5 dejaría la media en 96/5 y la desviación típica de otro conjunto, el de cinco números, que esta lección no pide. El √11 usa las seis filas y el divisor 6.

En el conjunto 10, 10, 20, 20 la media también se puede ver entrar: 10;10 + 10 = 20
20 / 2 = 10; las tres primeras son 10 + 10 = 20
20 + 20 = 40, así que la media de las tres primeras es 40/3; las cuatro suman 60 y 60/4 = 15. 40/3 no es 15. (20+20)/3 no es la media de las tres primeras: mete el cuarto dato y se deja los dos dieces. El 15 de 60/4 sí es la media de las cuatro. El cuarto dato es el que deja la media en 15, y solo entonces los cuatro cuadrados valen 25 y la desviación es 5. Calcular √25 con la media todavía en 40/3 mezcla dos conjuntos.40 / 3 = 40/3
40/3 − 15 = −5/3: falta un dato, no falta un redondeo.

Error típico

Dar 11 como desviación típica. 11 es la varianza σ²; la desviación es √11. O dividir 66 entre 5 «porque es una muestra» y obtener 66/5 = 13,2, cuya raíz es la cuasidesviación. Con estas seis lecturas el divisor pedido es n = 6.

Tu desarrollo

Escribe aquí los pasos, con unidades o fracciones. Puedes borrar el rótulo y usar el hueco como papel.

Comprueba

// Arduino Uno o Nano. Seis lecturas bastan para esta cuenta.
// Los valores de la lección están declarados: el bucle solo enseña el gesto.
const int t[6] = {15, 18, 18, 21, 24, 24};
const int pin = A0;
void setup() {
  Serial.begin(9600);
  int s = 0;
  for (int i = 0; i < 6; i++) s += t[i];
  // s = 120; media = 120/6 = 20
  int lectura = analogRead(pin);
  Serial.println(s);
  Serial.println(lectura);
}
void loop() {}

Cierre

La media de 15, 18, 18, 21, 24 y 24 es 20. La suma de cuadrados de las desviaciones es 66, la varianza es 11 y la desviación típica es √11. La otra fórmula, 411 − 400, da la misma varianza. Todo se hace en esta página: no hay otra aplicación.