En el sentido numérico, la adición de vectores tiene propiedades y una representación. Un vector del plano queda fijado por dos componentes: un desplazamiento horizontal y uno vertical. Escribir u = (u1, u2) no es una matriz; es una pareja ordenada. El producto escalar llega en la lección siguiente. Aquí solo se suma.
Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), entonces u + v = (u1 + v1, u2 + v2). Cada eje se suma por su lado. No se cruzan las componentes: la primera del resultado no mezcla la vertical de uno con la horizontal del otro.
Si se dibujan con el mismo origen, u + v es la diagonal del paralelogramo que forman. Si se dibujan encadenados, el extremo de u es el origen de v, y la suma va del origen de u al extremo de v. Las dos lecturas dan el mismo vector. El orden del dibujo puede cambiar; el resultado, no.
La suma es conmutativa: u + v = v + u, porque sumar números reales es conmutativo en cada componente. Es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w). El vector cero es 0 = (0, 0): u + 0 = u. El opuesto de u = (u1, u2) es −u = (−u1, −u2), y u + (−u) = (0, 0). Restar es sumar el opuesto: u − v = u + (−v)
u + (−v) = (u1 − v1, u2 − v2).
Resultado: (3, 4).
Resultados: la suma es (3, 3) y el opuesto cierra en (0, 0).
Se suma las longitudes como si fueran los vectores. Toma u = (1, 0) y v = (0, 1). Entonces |u| = 1, |v| = 1 y |u| + |v| = 2. Pero u + v = (1, 1) y su módulo es √(12 + 12) = √2, que no es 2.
Solo coinciden en casos muy concretos, por ejemplo si uno de los dos es el cero, o si apuntan en el mismo sentido y son paralelos. En general, la suma de módulos no es el módulo de la suma. El vector se suma por componentes; la longitud, no se suma siempre.
Escala: 40 px por unidad, origen en (80, 180). El punto (2, 1) cae en (160, 140). El punto (1, 3) cae en (120, 60). La suma (3, 4) cae en (200, 20).
En la vida real
Si un recorrido hace 2 unidades al este y 1 al norte, y el siguiente hace 1 al este y 3 al norte, el desplazamiento total es 3 al este y 4 al norte. Sumar los kilómetros de cada tramo, sin mirar el sentido, da otra pregunta: la longitud del camino, no el vector resultante.
Ajusta las componentes de v. El vector u se queda en (2, 1). La figura redibuja la suma. En la caja, suma (−2, 4) + (5, −1) y el opuesto de (−2, 4).
Clave local: bach1-mates-i-L04. No se envía a ningún sitio.
Respuesta: (−3, 3).
Por qué: 1 + (−4) = −3 y −2 + 5 = 3, así que (1, −2) + (−4, 5) = (−3, 3). El opuesto y el cero no cambian la regla de la suma: se sigue sumando cada componente con la suya. El opuesto deshace, porque cada número más su contrario da cero y el vector vuelve al origen. El cero no aporta, porque sumarle 0 deja la componente igual. No se suman los módulos: el módulo es una longitud, y dos longitudes no se suman si los vectores no van en la misma dirección y sentido. Los opuestos (3, 0) y (−3, 0) lo enseñan: el desplazamiento es (0, 0) y su módulo es 0, no 3 + 3.
Respuesta: (2, 3).
Por qué: el vector cero no desplaza. 2 + 0 = 2 y 3 + 0 = 3, así que el resultado es el primer vector.
Respuesta: no. La suma de vectores es (0, 0), su módulo es 0, y 3 + 3 = 6.
Por qué: los dos vectores son opuestos. Las longitudes se sumarían solo si se preguntara por el camino recorrido, no por el desplazamiento resultante.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
Se suma componente a componente. El dibujo es un paralelogramo o una cadena. Hay cero y hay opuesto. La longitud de la suma no es, en general, la suma de las longitudes.
Elige dos vectores de componentes enteras pequeñas, súmalos y escribe un tercero que devuelva al origen. Comprueba que la suma de los tres es (0, 0). Dibuja el esquema en la figura moviendo el control, o descríbelo en la caja.
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