1º Bach Matemáticas Generales · CyL Decreto 40/2022 · A–F Un problema con varios bloques del curso
Objetivos
Modelar el beneficio de la jornada como función afín y localizar el umbral de asistencia.
Leer el plano de pasillos como grafo ponderado y elegir el camino mínimo con las duraciones sumadas.
Incorporar la probabilidad de lluvia y la asistencia esperada sin confundir la media con el peor caso.
Una jornada, tres herramientas
El cierre no abre tres problemas pequeños. Abre uno y no lo suelta. El instituto tiene 80 alumnos inscritos en la jornada de puertas abiertas. Hay cuatro talleres, A, B, C y D. Cada alumno elige dos, sin que el orden importe. La entrada cuesta 12 euros. El alquiler de la mañana son 400 euros, se paguen o no se llenen las salas, y el material son 4 euros por alumno que asiste. En el edificio, la entrada E comunica con el hall H en 3 minutos, el hall con los talleres T en 5 y con el salón S en 7, los talleres con el salón en 4, y hay un patio directo de E a T de 9 minutos. La previsión de lluvia es 1/4. En jornadas anteriores ha asistido el 90 % de quienes se inscribieron.
Con los 80 inscritos, si vienen todos, el ingreso es 960 euros y el coste 720, así que el beneficio es 240. La función B(x) = 8x − 400 dice que cada persona de más, por encima del alquiler ya pagado, aporta 8 euros: los 12 de la entrada menos los 4 del material. Hacen falta 50 asistentes para no perder dinero. El grafo no cambia esas cifras: cambia cuánto se tarda en ir de la puerta al salón, y la lluvia no cambia el alquiler: cambia cuánta gente cabe y cuánta se espera.
Nada de esto pide un bloque nuevo. Pide no abandonar los números al cambiar de herramienta. El conteo de parejas, la recta del beneficio, la arista del pasillo y el 0,25 de lluvia hablan de la misma mañana. Si un resultado intermedio no se reutiliza en el ejemplo siguiente, se ha roto el proyecto.
Pieza
Cifra de la jornada
Bloque
Parejas de talleres
C(4, 2) = 6
conteo
Beneficio si vienen 80
240 €
finanzas y función afín
Puerta al salón
10 min
grafos
Asistencia esperada
72 personas, beneficio 176 €
probabilidad
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Dinero y parejas de la misma lista
Con 80 inscritos que vienen todos, cuatro talleres y entrada de 12 euros, halla el beneficio y el número de parejas de talleres. Deja escrita B(x).
Parejas: 4 · 3 = 12
12 / 2 = 6
C(4, 2) = 6. Son AB, AC, AD, BC, BD y CD, las seis aristas del grafo de la derecha. El orden no crea un itinerario nuevo.Glosa: si el orden importara serían 4·3 = 12. El enunciado dice que no importa.
Ingreso: 80 · 12 = 960 euros.Coste:
80 · 4 = 320
400 + 320 = 720
400 + 320 = 720. Beneficio: 960 − 720 = 240 euros. Son las tres barras.Glosa: el 400 no se multiplica por 80. Es alquiler fijo de la mañana.
En función del número que asiste, I(x) = 12x y C(x) = 400 + 4x, luego B(x) = 8x − 400. Con x = 80, 640 − 400 = 240, la misma barra.Glosa: 12 − 4 = 8 es lo que aporta cada asistente una vez pagado el alquiler.
Umbral: 8x − 400 = 0 da x
0 da x = 50. Por debajo se pierde dinero aunque la entrada sea de 12 euros, porque el alquiler no se encoge.Glosa: 8 · 50 = 400. Faltan 30 personas respecto de los 80 inscritos para estar justo en cero, no para el beneficio 240.
Ejemplo resuelto 2 — El plano no cambia el beneficio; cambia el minuto
En el mismo edificio, ¿cuánto se tarda de la entrada E al salón S? Usa los pesos 3, 5, 7, 4 y 9, y relaciona la pendiente de B con los 8 euros.
Tres caminos: E–H–S = 3 + 7
3 + 7 = 10;3 + 5 = 8
8 + 4 = 12
E–H–T–S = 12; E–T–S = 9 + 4
9 + 4 = 13. El mínimo es 10 minutos, por el hall.Glosa: se suman minutos de aristas, no se cuenta el número de pasillos. El camino de tres tramos dura más que el de dos.
La matriz de pesos, con orden E, H, T, S, guarda los mismos números: la casilla H–S es 7, la E–T es 9 y no hay casilla directa E–S. El plano y la matriz son el mismo grafo.Glosa: un hueco en la matriz no es un cero de minutos. Es una arista que no existe.
Nada de esto modifica los 240 euros. El beneficio depende de cuánta gente entra, no de si tarda 10 o 13 minutos, salvo que el retraso vaciara la sala, cosa que el enunciado no dice.Glosa: cambiar de bloque no es permiso para tirar la cifra anterior. Aquí simplemente no se usa.
La pendiente de B es 8 euros por persona: es constante, como la derivada de una afín. Una persona más, si ya se ha superado el alquiler, no cambia el 400 y sí suma 8.Glosa: B(51) − B(50) = 8. Ese incremento es la pendiente, no un beneficio nuevo calculado desde cero.
Ejemplo resuelto 3 — Lluvia y asistencia, sobre el mismo B(x)
Asiste, en media, el 90 % de los 80. La lluvia tiene probabilidad 1/4. Si llueve, 20 alumnos de huerto exterior pasan a un salón donde ya hay 40 y solo caben 50. Calcula el beneficio esperado y el peor caso de asientos.
Asistencia esperada: 0,90 · 80 = 72 personas. No son los 80 de la barra, ni un sorteo que haya que simular para obtener la media.Glosa: 10 % de 80 son 8 ausencias. 80 − 8 = 72.
Beneficio con esa media: B(72) =
8 · 72 = 576
576 − 400 = 176 euros. Son 64 euros menos que 240, y 64 = 8 · 8: las ocho ausencias valen ocho euros cada una.Glosa: se reutiliza B(x). No se reconstruye el alquiler desde el principio, aunque hacerlo daría lo mismo: 12 · 72 = 864
4 · 72 = 288
400 + 288 = 688
864 − 688 = 176.
Si llueve, que ocurre con probabilidad 1/4, el salón recibe 40 + 20 = 60 personas y caben 50. Faltan 10 asientos. Si no llueve, el huerto no se mueve y esos 10 no faltan.Glosa: 60 − 50 = 10. El déficit es condicional a la lluvia, no un hecho seguro.
La media de asistentes, 72, no evita el peor caso de la sala. 176 euros es una esperanza de beneficio, no una promesa, y los 10 asientos faltan precisamente cuando llueve, aunque la asistencia media quepa en otras cuentas.Glosa: esperanza y peor caso responden a preguntas distintas. El proyecto las deja escritas las dos.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Vienen 60, no 80
En la misma jornada, asisten 60 personas. Calcula el beneficio con B(x) = 8x − 400 y comprueba rehaciendo ingreso y coste. No cambies el alquiler.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es evaluar la función ya obtenida, y usar la cuenta larga solo como comprobación, sin olvidar el fijo.8 · 60 = 480
480 − 400 = 80
B(60) = 80= 480 − 400 = 80 euros. Por la definición: ingreso 12·60 = 720, coste 4 · 60 = 240
400 + 240 = 640, beneficio 720 − 640 = 80. Si alguien resta solo el material, 720 − 240 = 480, ha perdido el alquiler y presenta como beneficio un número que todavía debe 400 euros. El umbral seguía en 50: con 60 se está 10 personas por encima, y 10·8 = 80 cierra otra vez. Es la misma jornada; solo ha cambiado x.
2. Cierran el patio
El patio E–T de 9 minutos está cerrado. ¿Cuál es ahora el camino mínimo de E a S con los pesos que quedan? No uses el beneficio para contestar minutos.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es tachar la arista que ya no existe y volver a sumar los caminos que quedan, no quedarse con el 13 que usaba el patio ni con el 10 sin mirar. Sin E–T desaparece el camino E–T–S de 13 minutos. Siguen E–H–S = 3 + 7 = 10 y E–H–T–3 + 5 = 8
8 + 4 = 12
S = 12. El mínimo continúa siendo 10, por el hall: cerrar el patio elimina un camino que ya era peor, no el mejor. Contar aristas en vez de minutos habría preferido cualquier camino de dos tramos sin sumar 3 y 7. El beneficio de 240 euros no entra en la respuesta: la pregunta es de tiempo. Mezclar las unidades es romper el proyecto, no enriquecerlo.
3. Llueve más a menudo
La probabilidad de lluvia pasa a 0,40 y siguen siendo 20 los del huerto. ¿Cuántos alumnos de huerto se espera que acaben en el salón? ¿Por qué esa esperanza no garantiza que quepan los 50 asientos el día que llueve?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es multiplicar la probabilidad por los 20, y no usar ese producto como si fuera el aforo del día de lluvia. Esperanza de desplazados: 0,40 · 20 = 8. Sumados a los 40 de la charla dan 48, que en media caben en 50. El día que sí llueve, sin embargo, no se desplazan 8: se desplazan los 20, y 40 + 20 = 60, diez asientos por encima del aforo. La esperanza promedia los días de lluvia y los despejados; el aforo se sufre en un día concreto. Confundir 8 con 20 es tratar la media como si fuera el suceso condicionado. La probabilidad 0,40 cambia la previsión media respecto del 0,25 del ejemplo y no cambia la aritmética del peor caso, que sigue siendo 60 frente a 50.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
Si vienen los 80, ¿cuánto beneficio queda y cuántas parejas de talleres hay?
Beneficio 240 euros y 6 parejas. Por qué: ingreso 80·12 = 960, coste 400 + 320 = 720, diferencia 240. Las parejas son C(4, 2) = 6, las aristas del dibujo. El beneficio también es 8 · 80 = 640
640 − 400 = 240
B(80) = 240. El alquiler no se multiplica por el número de talleres.
¿Cuál es el camino mínimo de la entrada al salón y por qué no es el de tres tramos?
10 minutos, E–H–S. Por qué: 3 + 7 = 10, mientras E–H–T–S suma 12 y E–T–S suma 13. Se suman los minutos de las aristas. El camino con más pasillos no es el más corto. No hay puerta directa de E a S: esa casilla no está en la matriz.
Con un 90 % de asistencia, ¿qué beneficio se espera y qué no dice esa cifra sobre los asientos si llueve?
Se esperan 72 personas y B(72) = 176 euros. Por qué: 0,90·80 = 72 y 8 · 72 = 576
576 − 400 = 176, sesenta y cuatro euros menos que si vinieran todos, justo 8 euros por cada una de las 8 ausencias. Si llueve, el salón junta 40 + 20 = 60 y caben 50: faltan 10 asientos. La esperanza no es el peor caso.
Reto Profesor
La misma mañana, en el lienzo
Dibuja las tres barras 960, 720 y 240, el camino E–H–S de 10 minutos y escribe B(72) = 176. Tiene que reconocerse una sola jornada.