Una ecuación como x + y = 4 es la recta frontera. La inecuación x + y ≤ 4 se queda con un lado de esa recta, el semiplano, incluidos los puntos de la propia recta porque el signo es ≤ y no < estricto. Añadir x ≥ 0 e y ≥ 0 recorta el primer cuadrante.
semiplano = una de las dos mitades en que la recta parte el papel · la región solución es la intersección de los semiplanos · (1, 1) es un testigo interior · (3, 3) es un testigo exterior · los vértices del triángulo son (0, 0), (4, 0) y (0, 4)
El triángulo sombreado es exactamente esa intersección. Su lado inclinado es la frontera ámbar. Cualquier punto de dentro cumple las tres desigualdades a la vez. Cualquier punto al otro lado de la frontera incumple x + y ≤ 4, aunque tenga coordenadas positivas.
Para decidir el lado sin dibujar, se prueba un punto que no esté en la frontera. El origen (0, 0): 0+0 ≤ 4 es verdad, y el origen está en la región (es un vértice). El punto (3, 3): 6 ≤ 4 es falso, y el círculo verde queda fuera. Esa prueba es la que manda si el dibujo duda.
| Punto | x ≥ 0 | y ≥ 0 | x + y ≤ 4 | ¿Región? |
|---|---|---|---|---|
| (1, 1) | sí | sí | 2 ≤ 4, sí | dentro |
| (4, 0) | sí | sí | 4 ≤ 4, sí | vértice, en la frontera |
| (3, 3) | sí | sí | 6 ≤ 4, no | fuera |
| (−1, 1) | no | sí | 0 ≤ 4, sí | fuera |
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Describe la región x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 y nombra sus vértices.
Comprueba (1, 1) y (3, 3) en las tres inecuaciones.
Añade y ≤ 1 al sistema. ¿Sigue (1, 1) dentro? ¿Qué le pasa al triángulo?
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
¿Está (0, 4) en la región del gráfico? ¿Y (0, 5)?
(0, 4) cumple x = 0, y = 4 ≥ 0 y 0+4 = 4 ≤ 4. Es un vértice, así que está, en la frontera. (0, 5) cumple los ejes pero 5 ≤ 4 es falso: está en el eje vertical, justo por encima del triángulo, fuera. El paso es no dar por bueno todo el eje por el hecho de que x sea 0. La suma también limita. Comprueba cada desigualdad por separado y exige que todas sean verdaderas.
Describe, sin dibujar primero, el semiplano x + y ≥ 4. ¿Contiene al origen?
La frontera es la misma recta. El sentido ≥ se queda con el otro lado, el que no contiene al origen, porque 0+0 ≥ 4 es falso. (3, 3) sí entra, porque 6 ≥ 4. El paso es repetir el test del punto y no dar la vuelta al sombreado «a ojo». Si además pides x ≥ 0 e y ≥ 0, la región ya no es el triángulo acotado: es infinita, todo el primer cuadrante que queda por encima de la recta. El triángulo del gráfico corresponde al ≤, no al ≥.
Si la condición fuera x + y < 4, ¿el punto (4, 0) seguiría en la región?
No. 4 no es estrictamente menor que 4. (4, 0) está en la frontera y el signo < la excluye. (1, 1) sigue dentro, porque 2 < 4. El paso es leer el igual del símbolo antes de incluir vértices. En el dibujo, la frontera pasaría a ser una línea discontinua y los vértices (4, 0) y (0, 4) se vaciarían; (0, 0) se quedaría porque 0 < 4. El gráfico de la lección usa ≤, así que esos vértices están pintados como parte de la solución.
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
x ≥ 0, y ≥ 0 y x + y ≤ 4. Por qué: es el primer cuadrante recortado por la recta que une (4, 0) y (0, 4), del lado del origen. Los vértices son esos dos y el (0, 0).
(1, 1) suma 2, que es ≤ 4, y las coordenadas son positivas. (3, 3) suma 6, que ya no es ≤ 4. Por qué: basta una desigualdad falsa para salir de la intersección. El color del punto en el SVG lo separa, pero la decisión es la cuenta.
Sí, si no está sobre la frontera. Por qué: 0+0 ≤ 4 es verdadero, luego el semiplano de x + y ≤ 4 es el que contiene al origen. Si la recta pasara por el origen, habría que probar otro punto.
Dibuja en el lienzo el triángulo del ejemplo, marca (1, 1) y (3, 3) y escribe al lado qué desigualdad falla en el segundo.
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