Resolver un sistema 2×2 por suma o por sustitución.
Comprobar la pareja en las dos ecuaciones.
Leer en el dibujo qué significa una solución, ninguna o infinitas.
Una pareja que tiene que servir para las dos rectas
Cada ecuación del sistema es una recta. Una solución del sistema es un punto que está en las dos. Si las rectas se cortan en un solo punto, hay una solución. Si son paralelas distintas, ninguna. Si son la misma recta, infinitas.
2x + y = 8 es la ámbar · x − y = 1 es la verde · sumarlas elimina y porque +y y −y se cancelan · la solución (3, 2) hay que meterla en las dos ecuaciones, no solo en la que acabas de despejar
Suma: (2x + y) + (x − y) = 8 + 1, es decir 3x = 9, luego x = 3. De la segunda, 3 − y = 1, así que y = 2. Sustituir en la primera: 2 · 3 = 6
6 + 2 = 8, que cierra. El punto (3, 2) es el círculo del gráfico, donde se cruzan los dos trazos.
No basta con que el punto cumpla una. (4, 0) está en la ámbar porque 8+0 = 8, pero en la verde 4 − 0 = 4, que no es 1. Por eso (4, 0) no es solución del sistema aunque sea un corte con el eje de la primera recta.
Punto
¿Cumple 2x + y = 8?
¿Cumple x − y = 1?
(3, 2)
6+2 = 8, sí
3−2 = 1, sí
(4, 0)
8+0 = 8, sí
4−0 = 4, no
(1, 0)
2+0 = 2, no
1−0 = 1, sí
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Suma que elimina y
Resuelve el sistema del gráfico por suma y comprueba en las dos ecuaciones.
Suma miembro a miembro: 2x + y + x − y = 8 + 1. Queda 3x = 9.Glosa: +y y −y se anulan. Por eso se elige la suma y no un apaño.
x = 3. Sustituye en x − y = 1: 3 − y = 1, luego y = 2.Glosa: puedes usar cualquiera de las dos ecuaciones; la segunda es más corta.
Comprueba en la primera: 2 · 3 = 6
6 + 2 = 8. Y en la segunda: 3 − 2 = 1.Glosa: las dos tienen que cerrar. Si solo miras una, puedes arrastrar un fallo de la otra.
El punto (3, 2) es el círculo donde la ámbar y la verde se cortan. No hay otro corte.Glosa: dos rectas no paralelas se cortan una sola vez.
Ejemplo resuelto 2 — Sustitución, el mismo punto
Despeja y en la segunda ecuación y sustituye en la primera.
De x − y = 1 sale y = x − 1.Glosa: al pasar −y, el 1 cambia de lado con x. y no es 1 − x.
Mete y en la primera: 2x + (x − 1) = 8. Entonces 3x − 1 = 8, 3x = 9, x = 3.Glosa: el mismo 3x = 9 de antes. Los dos métodos coinciden.
y = 3 − 1 = 2. Otra vez (3, 2).Glosa: si el despeje hubiera sido y = 1 − x, en x = 3 saldría y = −2 y la primera ecuación no cerraría.
Sustituir no es un método distinto en el resultado: es otra forma de obligar a que el punto esté en las dos rectas.Glosa: el gráfico no cambia porque cambies de método.
Ejemplo resuelto 3 — Un punto que solo está en una
Muestra con números que (4, 0) no es solución, y di en qué recta sí está.
Primera ecuación: 2 · 4 = 8
8 + 0 = 8. Sí está en la ámbar. Es su corte con el eje horizontal, porque y = 8 − 2x da y = 0 cuando x = 4.Glosa: cumplir una ecuación significa estar en esa recta, no en el sistema.
Segunda: 4 − 0 = 4, y 4 no es 1. No está en la verde.Glosa: por eso no es el círculo del cruce.
(1, 0) hace lo contrario: 1 − 0 = 1, está en la verde, pero 2 · 1 = 2
2 + 0 = 2 no es 8.Glosa: cada eje puede cortar una recta en un punto que la otra no quiere.
La solución del sistema es la intersección, no un corte con el eje. Aquí solo (3, 2).Glosa: en otros sistemas la solución puede caer sobre un eje, pero se comprueba igual, en las dos ecuaciones.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Cambia el término
Resuelve 2x + y = 8 y x − y = 4. Compara con (3, 2).
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Al sumar, 3x = 12 y x = 4. Entonces 4 − y = 4, así que y = 0. La solución es (4, 0). El paso es rehacer la suma: el 1 de la segunda ecuación ha pasado a ser 4, y 8+4 = 12, no 9. Justo (4, 0) era el punto que en el sistema original estaba en la ámbar y no en la verde. Al cambiar la verde para que pida x − y = 4, ese punto entra y (3, 2) sale: 3−2 = 1, que ya no es 4. Comprueba 2 · 4 = 8
8 + 0 = 8.
2. Paralelas
¿Qué ocurre con 2x + y = 8 y 2x + y = 3?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Restando, 0 = 5, que es imposible. No hay ningún (x, y) que cumpla las dos, porque la misma expresión 2x + y no puede valer 8 y 3 a la vez. Son rectas paralelas: misma pendiente (de y = −2x + 8 y y = −2x + 3) y distinta ordenada en el origen. El paso es reconocer 0 = número distinto de cero como «ninguna solución», no como x = 0. En el gráfico del ejemplo las pendientes no coinciden (una baja con pendiente −2 y la otra sube con pendiente 1), por eso sí se cortan.
3. Sustituye al revés
Comprueba (3, 2) en el orden inverso: primero la segunda ecuación y después la primera, escribiendo las operaciones.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Segunda: 3 − 2 = 1, que es el término independiente. Primera: 2·3 = 6 y 6+2 = 8. El orden de la comprobación no importa; importa no saltarse ninguna. El paso evita el error de dar por bueno x = 3 solo porque 3x = 9, sin haber recuperado y. Si y hubiera salido 1 por un despiste, la segunda daría 3−1 = 2, que no es 1, y la primera 6+1 = 7, que no es 8. Las dos fallarían o, según el despiste, fallaría una. Por eso se miran las dos.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Dónde se cortan las dos rectas del gráfico?
En (3, 2). Por qué: al sumar las ecuaciones, 3x = 9 y x = 3; de x − y = 1 sale y = 2. Ese punto cumple 6+2 = 8 y 3−2 = 1. Es el único corte porque las rectas no son paralelas.
¿Por qué (4, 0) no vale?
Cumple la primera ecuación y no la segunda: 4 − 0 = 4, no 1. Por qué: estar en una recta no es estar en el sistema. El sistema pide las dos condiciones a la vez.
¿Qué señalaría una resta que da 0 = 5?
Que no hay solución. Por qué: las dos ecuaciones se contradicen. En el ejemplo eso no pasa: la suma da 3x = 9, que sí tiene solución. 0 = 5 aparecería si las rectas fueran paralelas distintas, como 2x + y = 8 y 2x + y = 3.
Reto Profesor
Otro cruce
Escribe un sistema propio de dos rectas, resuélvelo y marca el corte en el lienzo. Comprueba el punto en las dos ecuaciones.