La función exponencial y = 2^x multiplica por 2 cada vez que x aumenta una unidad. Pasa por (0, 1), porque 2⁰ = 1, y por (3, 8), el punto marcado. No es una recta: de x = 2 a x = 3 la altura pasa de 4 a 8, un salto mayor que el anterior.
2³ = 8 · log₂(8) = 3 porque 2³ = 8 · log₂(2^x) = x · 2 elevado a log₂(8) vuelve a 8 · log₂(4·2) = log₂(4) + log₂(2)
El logaritmo en base 2 pregunta por el exponente. log₂(8) no es 8/2. Es 3, y por eso en la curva verde el punto que corresponde al resultado 8 tiene altura 3. Las dos gráficas cuentan la misma frase en orden contrario: «2 elevado a 3 es 8» y «el exponente que lleva de 2 a 8 es 3».
La propiedad útil no es decorativa.log₂(4·2) = log₂(8)
log₂(8) = 3, y también log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1 = 3. El logaritmo convierte el producto en suma. No convierte la suma en producto: log₂(4+2) = log₂(6) no es 2+1.
| x | 2^x | lectura logarítmica |
|---|---|---|
| 0 | 1 | log₂(1) = 0 |
| 2 | 4 | log₂(4) = 2 |
| 3 | 8 | log₂(8) = 3, el punto de las dos curvas |
| 4 | 16 | log₂(16) = 4 |
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Comprueba que 2³ = 8 y sitúa el punto en la exponencial.
Calcula log₂(8) y explica por qué el punto no es (3, 8) en la curva verde.
Comprueba log₂(4·2) de las dos maneras.
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
¿Cuánto es 2⁵ y log₂(32)?
2 · 2 = 4
4 · 2 = 8
2 · 2 = 4
8 · 4 = 32
2⁵ = 32
2 · 2 = 4
4 · 2 = 8
2 · 2 = 4
8 · 4 = 32. El logaritmo en base 2 de 32 es el exponente 5. El paso es no multiplicar 2·5. Puedes encadenar desde el punto del gráfico: 8·2 = 16 y 16·2 = 32, dos duplicaciones más allá de x = 3. Comprueba al revés: 2⁵ = 32. En la curva exponencial el punto sería (5, 32), más alto que el recuadro; en la logarítmica, (32, 5).
Resuelve 2^x = 16 y escribe la solución como logaritmo.
16 = 2⁴, así que x = 4. También x = log₂(16). Las dos escrituras son la misma solución. El paso es igualar exponentes cuando las bases ya coinciden, o nombrar el logaritmo si todavía no has reconocido la potencia. Comprueba sustituyendo: 2⁴ = 16, que está en la tabla. No sirve x = 16/2 = 8, porque 2⁸ es 256, no 16.
¿Es verdad que log₂(6) = log₂(2) + log₂(4)? ¿Y log₂(8) = log₂(3) + log₂(5)?
La primera es falsa: 2+4 = 6, pero la propiedad exige un producto, no una suma.log₂(2)+log₂(4) = 1+2
1+2 = 3
3 = log₂(8), no log₂(6). La segunda también es falsa: 3·5 = 15, no 8, así que log₂(3)+log₂(5) = log₂(15), distinto de log₂(8) = 3. El paso es mirar si lo de dentro es un producto de los argumentos que vas a sumar. En el ejemplo bueno, 4·2 sí era 8. Aquí ni la suma 2+4 ni el producto 3·5 reconstruyen el argumento que alguien ha puesto.
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
(3, 8). Por qué: el exponente 3 va en el eje horizontal y el resultado 8 en el vertical.2 · 2 = 4
4 · 2 = 8, no 6. El círculo ámbar es ese punto, y un paso antes la altura es 4, no una recta.
Porque 2³ = 8, no porque 8 tenga un 4 escondido en 2⁴ = 16. Por qué: el logaritmo es el exponente exacto. 2⁴ ya se pasa a 16. En la curva verde, 8 está en el eje horizontal y la altura es 3.
Sí,en log₂(4) + log₂(2) = 2+1
2+1 = 3, que es log₂(8). Por qué: el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos. No hagas lo mismo con 4+2, porque eso no es el producto y log₂(6) no vale 3.
Escribe 2 elevado a un entero entre 1 y 6, el logaritmo inverso y una comprobación de la propiedad del producto. Dibújalo en el lienzo si te ayuda el esquema de las dos curvas.
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