1º Bach Matemáticas Generales · CyL Decreto 40/2022 · C.1 Fórmula de Euler y grafos planos
Objetivos
Contar V, E y F en un grafo plano pequeño y contrastar Euler.
Aplicar la cota E ≤ 3V − 6.
Concluir que K5 no es plano porque 10 > 9.
Planar no es «me ha salido un cruce»: es que todo dibujo se cruza
Un grafo es plano si existe algún dibujo en el papel en el que las aristas solo se encuentren en los vértices. Que un dibujo concreto tenga un cruce no demuestra que el grafo sea no plano: a lo mejor otro dibujo lo evita. Hace falta un argumento que valga para todos los dibujos.
V = vértices · E = aristas · F = caras, incluida la cara infinita de fuera · K5 = cinco vértices, todos unidos con todos · 3V − 6 = cota superior de aristas de un grafo simple, conexo y plano con V ≥ 3
En un grafo simple plano cada cara queda limitada por al menos 3 aristas y cada arista separa a lo sumo 2 caras, así que 2E ≥ 3F. Con Euler, V − E + F = 2, se despeja F = E − V + 2 y al sustituir sale E ≤ 3V − 6. Es una condición necesaria: si un grafo simple tiene más aristas, no puede ser plano.
K5, dibujado al lado, une cada pareja de entre 5 vértices. El número de aristas es C(5, 2) = 10. La cota permite como mucho 3 · 5 = 15
15 − 6 = 9. Como 10 > 9, ningún reordenado de los vértices eliminará todos los cruces. El dibujo enseña uno de esos cruces inevitables; la desigualdad demuestra que no es un descuido.
Grafo
V
E
3V − 6
¿Puede ser plano?
Triángulo
3
3
3
sí, 3 ≤ 3, y se dibuja sin cruces
K5
5
10
9
no, porque 10 > 9
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Contar K5
Cuenta vértices y aristas de K5 y comprueba que las aristas son todas las parejas.
Hay 5 vértices, uno por cada círculo numerado del gráfico.Glosa: V = 5 es el primer dato de la cota; no cuentes un cruce como vértice.
Cada vértice se une a los otros 4, pero así contarías cada arista dos veces: 5 · 4 = 20
20 / 2 = 10.Glosa: la división entre 2 es el mismo doble conteo de siempre. C(5, 2) = 10.
También puedes enumerar: desde 1 salen 4 aristas nuevas, desde 2 salen 3 que no repiten la anterior, luego 2 y luego 1. Suma 4 + 3 = 7
7 + 2 = 9
9 + 1 = 10.Glosa: ese recuento ordenado evita contar dos veces la arista 1-2.
E = 10 y V = 5. Esos son los números que entran en la desigualdad, no el número de cruces que veas en este dibujo.Glosa: los cruces dependen del dibujo; V y E, no.
Ejemplo resuelto 2 — La cota que no cumple
Aplica E ≤ 3V − 6 a K5 y redacta la contradicción con la planaridad.
Sustituye V = 5:
3 · 5 = 15
15 − 6 = 9. Un grafo simple plano con 5 vértices tiene como mucho 9 aristas.Glosa: la cota no dice que 9 aristas garanticen que es plano; dice que más de 9 lo impiden.
K5 tiene 10 aristas. Compara: 10 > 9.Glosa: el exceso es una sola arista, y con eso basta para la contradicción.
Si K5 fuera plano, cumpliría la cota. No la cumple. Luego no es plano.Glosa: es una prueba por contradicción, no una impresión sobre este dibujo concreto.
Por tanto no existe ningún dibujo de K5 sin cruces. Mover los círculos puede cambiar qué aristas se cruzan, no el hecho de que alguna se cruce.Glosa: por eso el SVG puede enseñar un cruce y la desigualdad cierra el argumento.
Ejemplo resuelto 3 — Euler en un plano que sí lo es
Un triángulo tiene V = 3, E = 3 y dos caras (interior y exterior). Comprueba V − E + F = 2 y la cota.
F = 2: la región de dentro del triángulo y la región infinita de fuera.Glosa: olvidar la cara exterior es el error típico; sin ella,
3 − 3 = 0
0 + 1 = 1, que no es 2.
3 − 3 = 0
0 + 2 = 2
V − E + F = 2. Euler se cumple.Glosa: el 2 es de un grafo conexo plano, contando la cara de fuera.
Cota: 3V − 6 = 3. Y E = 3, así que 3 ≤ 3. La cota no prohíbe este grafo.Glosa: estar en la frontera de la cota es compatible con ser plano, y el triángulo lo es.
Contraste: el triángulo satura la cota y es plano; K5 se pasa en una arista y no lo es.Glosa: la misma fórmula, dos conclusiones distintas según los números.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Un cruce no basta
Dibujas un cuadrado con las dos diagonales y las diagonales se cruzan en el papel. ¿Has demostrado que ese grafo no es plano?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
No. Has demostrado que ese dibujo tiene un cruce, no que todos los dibujos lo tengan. El paso que falta es intentar otro dibujo: saca un vértice fuera y traza una diagonal por el exterior; el grafo del cuadrado con diagonales (K4) sí es plano. V = 4, E = 6 y 3V − 6 = 6, así que la cota no lo prohíbe. Con K5 la cota sí prohíbe cualquier intento: 10 > 9. No confundas «este dibujo se cruza» con «el grafo no es plano».
2. Cara exterior
En el triángulo, alguien dice F = 1 porque «solo se ve un hueco». ¿Qué le hace Euler?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Le descuadra la fórmula: 3 − 3 = 0
0 + 1 = 1, que no es 2. El hueco interior es una cara y el resto del plano es otra. El paso es contar la cara no acotada. Cuando se añade, F = 2 y 3 − 3 = 0
0 + 2 = 2. Este cuidado importa antes de usar 2E ≥ 3F para llegar a la cota, porque F entra en la demostración. En K5 ni siquiera llegamos a contar caras de un dibujo plano, porque ese dibujo no existe.
3. Otra cota numérica
Un grafo simple tiene V = 6. ¿Cuántas aristas puede tener, como máximo, si es plano? ¿Puede ser K6?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
3V − 6 = 18 − 6
18 − 6 = 12. Si es plano y simple, E ≤ 12. K6 une todas las parejas: C(6, 2) = 15, y 15 > 12, luego K6 tampoco es plano. El paso es calcular la cota antes de discutir el dibujo. K5 ya no lo era con 10 > 9; K6 se pasa todavía más. Que la cota falle prueba que no es plano. Que la cota se cumpla, en cambio, no prueba que lo sea: es necesaria, no suficiente.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Cuántas aristas tiene K5 y cuántas le permitiría ser plano?
Tiene 10 y la cota permite como mucho 9. Por qué: C(5, 2) = 10 y 3 · 5 = 15
15 − 6 = 9. La comparación 10 > 9 es la prueba. No hace falta contar los cruces del dibujo para concluir.
¿Por qué no contamos el cruce del dibujo como un sexto vértice?
Porque no es un vértice del grafo: es un accidente del dibujo. Por qué: K5 tiene solo los cinco vértices que elegimos, todos unidos entre sí. Si convirtieras el cruce en vértice estarías mirando otro grafo, con más vértices y aristas partidas.
En el triángulo, ¿cuánto da V − E + F?
Da 2, porque 3 − 3 = 0
0 + 2 = 2. El paso que suele saltarse es contar la cara exterior: el triángulo tiene 3 vértices y 3 aristas, y además de la cara de dentro está la región de fuera, así que F = 2 y no F = 1. Sin esa cara Euler no cierra (saldría 1) y tampoco se sostiene la cota E ≤ 3V − 6, que parte de V − E + F = 2 con todas las caras, incluida la exterior.
Reto Profesor
Dibuja y contradice
Dibuja K5 en el lienzo intentando evitar cruces. Escribe al lado V = 5, E = 10, 3V − 6 = 9 y la frase «10 > 9, no es plano».