Noventa y ocho julios, arriba y abajo

Objetivos

• Calcular Ec = ½·m·v² y Ep = m·g·h, con g = 9,8 m/s² y h medida desde el nivel que tú eliges y declaras.
• Conservar Em = Ec + Ep cuando el sistema es conservativo.
• Aplicar W_neto = ΔEc cuando hay rozamiento u otra fuerza no conservativa.
• No llamar «se conserva» a un caso con rozamiento.

Letras

• Ec en julios si m está en kg y v en m/s. El cuadrado es de la velocidad, no de la masa.
• Ep = m·g·h. h es altura respecto a un cero que fijas. Si el cero está en el suelo, en el suelo Ep = 0.
• Em = Ec + Ep. Se conserva si el trabajo de las no conservativas es cero.
• Teorema de las fuerzas vivas: W_neto = Ec_final − Ec_inicial. El peso, si lo metes como Ep, no lo cuentes otra vez dentro de W_neto.

m·g = 2,0·9,8 = 19,6 N, y Ep = 19,6·h. Por eso 19,6·5,0 = 98, 19,6·2,5 = 49 y 19,6·1,5 = 29,4. A 1,5 m, si no hay rozamiento, Ec = 98 − 29,4 = 68,6 J. No es la mitad de 98: la mitad de 5,0 m es 2,5 m, no 1,5 m.

Ejemplo

1. m = 2,0 kg, suelto desde h = 5,0 m. Cero de Ep en el suelo. g = 9,8 m/s². No hay rozamiento.
2. Arriba: v = 0, Ec = 0. Ep = 2,0·9,8·5,0 = 98 J. Em = 98 J.
3. Abajo: h = 0, Ep = 0. Como se conserva, Ec = 98 J.
4. 98 = ½·2,0·v² = v². v = √98 m/s. Si escribes 9,90, recuerda que 9,90·9,90 = 98,01: sobra una centésima. El resultado limpio es √98.
5. Con rozamiento que hace W = −10 J en la caída, ya no se conserva. W_neto de la no conservativa = ΔEc solo si el peso va aparte como Ep: la Ec abajo sería 98 − 10 = 88 J. Aquí el trabajo del rozamiento es dato, no una fuerza que midas.

Segundo ejemplo resuelto

El primero era una caída vertical sin rozamiento, y con rozamiento de −10 J. Este es horizontal: la altura no cambia y el teorema de las fuerzas vivas se ve solo en la cinética. m = 1,0 kg no es la masa de 2,0 kg del ejemplo anterior.

1. m = 1,0 kg se mueve en horizontal a v = 4,0 m/s. El cero de Ep está en ese suelo y h no cambia, así que Ep no entra en el cambio. Ec inicial = ½·m·v² = ½·1,0·4,0² = ½·16 = 8,0 J. El cuadrado es de la velocidad: 4,0² = 16, no 4.
2. Peso y normal son perpendiculares al desplazamiento, así que su trabajo es cero. El rozamiento hace W neto = −6,0 J. El teorema dice que ese trabajo es el cambio de cinética.
3. Ec final = 8,0 + (−6,0) = 2,0 J. No se para. Para quedarse en cero haría falta W neto = −8,0 J, que cancelara los 8,0 J enteros. El dato es −6,0 J, no −8,0 J.
4. 2,0 = ½·1,0·v². Entonces v² = 4,0 y v = 2,0 m/s. Comprueba: ½·1,0·2,0² = ½·4,0 = 2,0 J. La rapidez se ha reducido a la mitad y la cinética a la cuarta parte, porque va con el cuadrado: (1/2)² = 1/4, y 8,0/4 = 2,0.
5. No es el ejercicio 4. Allí se partía de 20 J, el trabajo neto también era −6,0 J y quedaban 14 J. El −6,0 J coincide y la cinética de partida no. Tampoco es la caída: allí, sin rozamiento, los 98 J de Ep pasaban a Ec. Aquí Ep no cambia y la mecánica baja en 6,0 J, que es justo el trabajo negativo.

Con 2,0 kg, el número de Ec es v²

½·m = ½·2,0 = 1. Por eso, en la caída, los julios de cinética y el número de v² coinciden. No es una regla universal: en el segundo ejemplo m = 1,0 kg, ½·m = 0,50, y 2,0 J de cinética dan v² = 4,0, no 2,0.

• Arriba, en reposo: Ec = 0 y v² = 0.
• A h = 2,5 m, sin rozamiento: Ec = 49 J, luego v² = 49 y v = 7,0 m/s. Cierra porque 7,0² = 49. El ejercicio no te pedía la velocidad; si la pides, es esta.
• A h = 1,5 m: Ec = 98 − 29,4 = 68,6 J y v² = 68,6. 8² = 64, que se queda corto. No redondees 68,6 a 64.
• En el suelo, sin rozamiento: v² = 98. 9,90² = 98,01, sobra una centésima. El resultado limpio sigue siendo √98.
• En el suelo, con el rozamiento de −10 J: Ec = 88 J y v² = 88. Si te piden la raíz, déjala como √88. No digas que se conserva.

El teorema y la conservación no se suman dos veces. En la caída sin rozamiento el peso va dentro de Ep: ΔEp = 0 − 98 = −98 J y ΔEc = 98 − 0 = 98 J. La suma es cero y Em no cambia. Con el rozamiento de −10 J, ΔEm = −10 J y abajo quedan 88 J de cinética. En el horizontal del segundo ejemplo ΔEp = 0, porque h no cambia, y ΔEc = 2,0 − 8,0 = −6,0 J, igual al trabajo neto. Si además usaras g = 10 en la caída, Ep = 2,0·10·5,0 = 100 J. Esta lección no usa 10: 2,0·9,8·5,0 = 98 J, dos julios menos.

El peso, una vez

El peso de los 2,0 kg mide 19,6 N. Si tomas el descenso como sentido del desplazamiento y el peso va en ese sentido, el factor es +1 y el trabajo del peso en los 5,0 m es 19,6·5,0 = 98 J, igual al ΔEc de la caída sin rozamiento. Esa versión no usa Ep. La versión del ejemplo usa Ep (98 J arriba, 0 abajo) y no vuelve a contar el peso como trabajo. Las dos dan Ec = 98 J abajo. Sumarlas contaría 98 J dos veces y saldrían 196 J, que no es la cinética.

A h = 2,5 m el peso, en esa misma versión, ha recorrido 2,5 m y ha hecho 19,6·2,5 = 49 J. Por eso Ec = 49 J a media altura, y falta el otro tramo de 2,5 m para los otros 49 J. En el horizontal del segundo ejemplo el peso es 1,0·9,8 = 9,8 N y es perpendicular al desplazamiento: el factor es 0, así que el trabajo del peso es 0 J aunque el bloque sí avanza. No es la pared de la lección anterior, donde Δx = 0. Aquí el desplazamiento no es cero y el peso, aun así, no trabaja. El cambio de cinética se queda en −6,0 J.

Sin rozamiento y desde el reposo, la cinemática da el mismo v² que la energía. Hasta h = 2,5 m se han caído 2,5 m: v² = 2·9,8·2,5 = 49, y v = 7,0 m/s. El tiempo de esa media bajada es v/g = 7,0/9,8 = 5/7 s. Comprueba el tramo: ½·9,8·(5/7)² = 4,9·25/49 = 2,5 m. Con el rozamiento de −10 J esa raíz ya no vale: abajo v² = 88, no 2·9,8·5,0 = 98.

Ejercicios