Para aceleración constante, en una recta y con el origen ya elegido:
x(t) = x0 + v0 t + ½ a t²
v(t) = v0 + a t
a(t) = a
t instante, en segundos, contado desde el momento en que x = x0 y v = v0. No es una duración suelta si no dices desde cuándo.
x(t) posición en el instante t, en metros. Depende de dónde pusiste el origen. No es «el espacio recorrido» si ha habido ida y vuelta.
x0 posición en t = 0, en metros. Puede ser distinta de cero.
v(t) velocidad en t, en m/s. El signo dice el sentido respecto al eje: positivo, hacia x crecientes.
v0 velocidad en t = 0, en m/s.
a aceleración, constante en este modelo, en m/s². Si a y v tienen el mismo signo, la rapidez crece; si tienen signo contrario, la rapidez baja.
½ no es una unidad. Sale al acumular una velocidad que cambia de forma lineal con el tiempo: el término extra de posición es el área de un triángulo de base t y altura a t.
Unidades: no sumes metros con segundos. 36 km/h = 36 · (1000 m)/(3600 s) = 10 m/s. Si el dato llega en km/h, pásalo antes de entrar en la fórmula.
x0 = 2 m, v0 = 4 m/s, a = −2 m/s². Escribe las tres funciones y complétalas en t = 0, 1, 2 y 3 s.
| t (s) | x (m) | v (m/s) | a (m/s²) |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 4 | −2 |
| 1 | 5 | 2 | −2 |
| 2 | 6 | 0 | −2 |
| 3 | 5 | −2 | −2 |
x(t) = 8 − 3t, con t en s y x en m. Identifica x0, v y a. Calcula x(2 s) y el desplazamiento desde t = 0.
No hay t², así que a = 0. x0 = 8 m. El coeficiente de t es v = −3 m/s, constante. x(2) = 8 − 6 = 2 m. Desplazamiento Δx = x − x0 = 2 − 8 = −6 m. El signo del desplazamiento dice el sentido; la distancia recorrida, como no hay vuelta, es 6 m.
v(t) = −4 + 2t, en m/s si t va en s. Halla v0, a y el instante en que v = 0.
v0 = −4 m/s, a = +2 m/s². Signos contrarios: la rapidez disminuye. −4 + 2t = 0 → t = 2 s. Después v se hace positiva: ha cambiado de sentido. a no es cero en ese instante.
x(t) = 1 + 3t + t² (m, s). Escribe x0, v0 y a. Comprueba x y v en t = 2 s.
Comparas con x0 + v0 t + ½ a t². x0 = 1 m, v0 = 3 m/s. El coeficiente de t² es 1, y ese coeficiente es ½ a, luego a = 2 m/s². No es a = 1: te habrías comido el ½. En t = 2 s, x = 1 + 6 + 4 = 11 m. v = 3 + 2·2 = 7 m/s. Mismos signos: se va más deprisa hacia x crecientes.
Alguien escribe «la velocidad es 2 m/s²» y «la aceleración es 10 m/s». ¿Qué ha cruzado?
Velocidad: m/s. Aceleración: m/s², porque es un cambio de velocidad (m/s) cada segundo. 2 m/s² puede ser una aceleración, no una velocidad. 10 m/s puede ser una velocidad, no una aceleración. El número sin la unidad no dice cuál de las tres variables es.
En un instante, v = −3 m/s y a = +1 m/s². ¿La rapidez crece o baja? ¿El móvil va hacia x crecientes?
Va hacia x decrecientes, porque v es negativa. La rapidez baja, porque a y v tienen signo contrario: dentro de poco v será −2 m/s, menos rápida, pero todavía negativa. «Frenar» no significa haber dado ya la vuelta. La vuelta llegará si a se mantiene, cuando v cruce por cero, como en el ejercicio 2.
En el lienzo, ejes t y x. Marca los cuatro puntos de la tabla (0,2), (1,5), (2,6) y (3,5) y únelos. No tiene que ser una plantilla milimétrica: sí el máximo en t = 2 s.
En la vida real
Aceleración constante. El lienzo dibuja x(t). Escribe x y v en el instante t que marca el control.
Elige x0, v0 y a distintos de cero, con a de signo contrario a v0. Escribe x(t), v(t) y a(t) glosando la unidad de cada símbolo, y el instante en que v = 0. Bosqueja x(t) en el lienzo.
reto_id: bach1-fyq-14-tres-funciones