# Lección 02. El origen de nuestras cifras y otros sistemas de numeración **Curso:** 1º ESO Matemáticas · **UD0:** Arranque y cultura matemática **Saberes CyL (Decreto 39/2022):** A.1 Conteo; A.4 Relaciones (sistema de numeración) --- ## Objetivos 1. Explicar por qué usamos un sistema decimal posicional. 2. Comparar nuestro sistema con al menos otro (romano o egipcio/babilónico a nivel básico). 3. Leer y escribir números valorando la posición de cada cifra. 4. Valorar que las matemáticas son una construcción cultural humana. ## Explicación Nuestras cifras 0, 1, 2, …, 9 llegaron a Europa a través del mundo árabe (origen indio). Lo revolucionario no es solo el dibujo de los símbolos, sino el **sistema posicional decimal**: - La cifra 3 en 3 significa 3 unidades, en 30 significa 3 decenas, en 300 significa 3 centenas. - El **cero** marca «no hay nada en esa posición» (marcador de hueco) y permite escribir 105 sin confusión. **Cuidado: no todos los ceros son iguales** 1. **Cero del medio** (en un natural): cambia el valor. En 105 el 0 dice «no hay decenas»; sin él sería 15. 2. **Ceros a la izquierda** (delante): **no** cambian el valor del natural — 007 = 7; al escribirlo normal los quitamos. 3. **Ceros a la derecha en un natural**: **sí** cambian el valor — 150 ≠ 15. 4. *(Más adelante, con decimales.)* Ceros a la derecha **después de la coma** no cambian el valor (3,50 = 3,5). No lo mezcles con el caso 3. ### Sistema romano (idea) Letras y valores (¡todas con su nombre!): - **I** = 1 · **V** = 5 · **X** = 10 · **L** = 50 (cincuenta) · **C** = 100 · **D** = 500 · **M** = 1000. No es posicional decimal. XIV = 10 + 5 − 1 = 14. Resulta incómodo para cálculos largos (prueba a multiplicar XVIII × XIV «en romano»). ### ¿Por qué base 10? Seguramente por contar con los dedos. Otras culturas usaron bases distintas (la babilónica, sexagesimal, aún vive en horas y grados: 60 minutos, 360°). ### Adaptar el conteo Contar de 2 en 2, de 5 en 5 o agrupar en decenas es adaptar el conteo al problema: en una tienda de León cuentas huevos por docenas; en un estadio, por filas. ## En la vida real > **Interactivo extra:** [`l02-monedas-cambio.html`](l02-monedas-cambio.html) — sestercios, sal/salario y divisas (cantidad × valor). Offline: doble clic / `file://`. - Leer años en monumentos o iglesias escritos en números romanos (por ejemplo en placas). - Entender por qué las horas tienen 60 minutos (herencia de sistemas antiguos). - Usar el valor posicional al escribir importes en € (12,05 € ≠ 12,50 €). - Códigos postales y números de teléfono: el orden de las cifras importa. *Teach-aside (cultura):* la palabra **salario** viene del latín *salarium*, ligada a la **sal** (bien muy valioso). No digas «los egipcios inventaron la palabra salario»: es una historia romana/latina, no egipcia. ## Ejemplos resueltos ### Ejemplo 1: Valor posicional En 4072: 4 millares, 0 centenas, 7 decenas, 2 unidades. El **cero del medio** actúa como *marcador de hueco*: dice «en las centenas no hay nada», y así el 4 sigue valiendo millares. Si quitas ese 0, el número deja de ser 4072 y pasa a ser 472. (Si quitas el 4, también cambia, claro: cualquier cifra del medio importa. Lo especial del 0 no es «ser la única imprescindible», sino **guardar un puesto vacío**.) En cambio, los **ceros a la izquierda** no cambian el valor del natural: 0072 es el mismo número que 72; al escribirlo normalmente los omitimos. *Nota para más adelante (decimales):* ceros a la derecha **después de la coma** tampoco cambian el valor (472,07000 = 472,07). No confundir con un cero a la derecha en un natural: 4720 ≠ 472. ### Ejemplo 2: Romano → decimal XLII: X=10, **L**=50 (cincuenta), pero X antes de L resta → 40; II=2 → **42**. **Interactivo (offline):** [`l02-sistemas-numeracion.html`](l02-sistemas-numeracion.html) — elige un número (1–99) y compáralo en vivo en decimal, romano y egipcio antiguo, con pasos y glosario. ### Ejemplo 3: Decimal → romano 2026 → MMXXVI (2×1000 + 2×10 + 5 + 1). ## Practica *Haz los ejercicios sin mirar las soluciones. Van de más fáciles a más exigentes.* **1.** Escribe el valor de la cifra 5 en 3508. **2.** ¿Qué número es CDXC? **3.** Pasa a romano: 78. **4.** Explica por qué 208 y 280 son distintos usando valor posicional. **5.** Inventa un sistema absurdo en base 5 con símbolos A=0,B=1,C=2,D=3,E=4. ¿Cómo escribirías el número decimal 7? **6.** ¿En qué contextos cotidianos sigue apareciendo la base 60? **7.** Ordena de menor a mayor: 1999, MCMXCIX (comprueba), 2001. **8.** Un comercio numera cajas en romano hasta XX. ¿Cuántas cajas son? ## Soluciones y porqués **1.** 500 (5 centenas). *Porqué:* La posición de centenas multiplica por 100. **2.** 490. *Porqué:* CD=400, XC=90. **3.** LXXVIII. *Porqué:* 50+10+10+5+1+1+1. **4.** En 208 el 0 marca 0 decenas; en 280 hay 8 decenas y 0 unidades. *Porqué:* El cero fija el valor de las demás cifras. **5.** 7 = 1×5 + 2 → BC (si B=1, C=2) o la notación que hayas definido; lo importante: dos «cifras» en base 5. *Porqué:* 7 en base 5 es 12₅. **6.** Horas/minutos/segundos; grados/minutos/segundos angulares. *Porqué:* Herencia sexagesimal. **7.** 1999 = MCMXCIX; luego 2001. Orden: 1999, MCMXCIX (igual), 2001. *Porqué:* MCMXCIX es 1999. **8.** 20 cajas. *Porqué:* XX = 20. ## Errores frecuentes - Leer números romanos sumando siempre (IV no es 1+5). - Olvidar el papel del cero en números como 405. - Confundir «cifra» con «número». ### Ejemplo extra resuelto (ampliación) Trabaja este caso en el cuaderno **antes** de mirar la solución de la práctica. Inventa números cercanos a tu entorno (precios en €, calles de tu localidad, medidas de tu aula) y aplica la misma cadena de pasos que en los ejemplos 1–3. Si te atascas, vuelve solo un ejemplo; no leas todas las soluciones. **Cadena recomendada:** dato → representación (recta, croquis, tabla o expresión) → operación → comprobación → frase de respuesta con unidades. ### Checklist de dominio (autoevaluación rápida) - [ ] Sé explicar la idea central de la lección 02 en menos de un minuto. - [ ] He hecho al menos 6 ejercicios de la práctica sin mirar. - [ ] He corregido con los «porqués», no solo con el número final. - [ ] He escrito el Reto Profesor con un ejemplo concreto de mi vida. - [ ] Sé un error frecuente típico y cómo evitarlo. ### Conexión con otras lecciones Esta sesión no vive aislada: usa lo ya aprendido (valor posicional, operaciones, sentido de unidades, croquis…) y prepara lo que viene. En el mapa del README puedes ver la UD y saltar a la lección anterior/siguiente si necesitas repaso o ampliación. ### Contexto Castilla y León / España Cuando puedas, ambienta los números en tu provincia (precios de panadería, distancias entre pueblos, temperaturas de invierno, rutas escolares, mercadillos, equipos locales). El currículo CyL pide sentido de las operaciones *contextualizadas*; el contexto no es adorno, es parte del aprendizaje. ## Mini cierre — qué recordar El sistema decimal posicional con cero hace eficientes el cálculo y la escritura. Otros sistemas enriquecen la mirada cultural, pero para operar en 1º ESO dominaremos el nuestro. ## Reto Profesor **reto_id:** `1eso-mate-L02` ### Cifras en mi entorno Haz una «caza» de 3 números escritos de forma especial cerca de ti (romano en una placa, dorsal, código, reloj…). Foto mental o descripción: ¿qué sistema usan y por qué crees que lo eligieron? **Una buena idea suele…** - Ser clara: se entiende en una lectura. - Conectar de verdad con lo aprendido en la lección. - Aportar una idea concreta (lugar, persona o situación), no solo una frase genérica. *Este reto está pensado para publicarlo en lesvencimos.com (idea + votación / premio). Aún no hace falta enviarlo a ninguna web: guárdalo en tu cuaderno o portfolio.*