En el plano euclídeo, si A es (x1, y1) y B es (x2, y2),
d(A, B) = √((x2 − x1)2 + (y2 − y1)2).
d(A, B) se lee «distancia de A a B». El símbolo √ es la raíz cuadrada: deshace el cuadrado, no es una división.
Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), el producto escalar es u · v = u1v1 + u2v2. El ángulo θ que forman cumple
cos θ = (u · v) / (|u| |v|), con |u| = √(u12 + u22).
θ (theta) es la medida del ángulo. |u| es el módulo del vector, la misma raíz que la distancia. El punto medio · es el producto escalar, no una multiplicación de módulos.
Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. La vuelta completa son 2π rad, así que
π rad = 180° y, por tanto, grados × π / 180 = radianes.
Puntos A(1, 2) y B(4, 6).
La distancia es 5. Es el triángulo 3-4-5: los catetos miden 3 y 4 y la hipotenusa mide 5, porque 32 + 42 = 52.
u = (1, 0) y v = (1, 1).
Ese coseno es el de 45°. En radianes, 45° = π/4. El ángulo entre u y v mide π/4 rad.
Con A(1, 2) y B(4, 6) hay quien responde 7, porque suma 3 + 4, o responde 25, porque se olvida la raíz de 9 + 16. Ninguna de las dos es la longitud: la longitud es √25 = 5.
Otro fallo, al cambiar de unidad: multiplicar los grados por 180/π en vez de por π/180. Treinta grados no son 30·180/π; son 30·π/180 = π/6.
Ejes con A(1, 2), B(4, 6) y el triángulo rectángulo de catetos 3 y 4. El arco recuerda que el ángulo se mide aparte de la longitud.
Cambia las coordenadas. El dibujo y la distancia se actualizan en la misma página. Escribe debajo cómo lo has hecho.
Distancia: 5
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El teorema de Pitágoras iguala cuadrados: 32 + 42 = 52. La longitud es el lado, no el área del cuadrado construido sobre él. Por eso se extrae la raíz de 25 y se obtiene 5, no 25.
El producto escalar crece si los vectores son más largos, aunque el ángulo no cambie. Dividir entre |u| |v| deja solo la información del ángulo. Con u = (1, 0) y v = (1, 1) sale 1/√2, que es cos 45°.
La semicircunferencia mide π radios de longitud. Ese arco es un ángulo llano, 180°. La regla de tres es directa: lo que en grados es 180, en radianes es π. Por eso se multiplica por π/180 y no al revés.
Escribe el razonamiento completo. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página.
La distancia pide raíz de una suma de cuadrados. El ángulo entre vectores sale del coseno del producto escalar. Para pasar a radianes, multiplica los grados por π y divide entre 180: 30°, 45°, 90° y 180° son π/6, π/4, π/2 y π.
Dibuja en una cuadrícula el segmento de (0, 0) a (3, 4). Calcula su longitud y di cuántos grados son π/2, sin mirar la lista de arriba.
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