El currículo pide la historia de la incorporación de los conjuntos hasta los complejos. Aquí esa historia se cuenta solo con ecuaciones: qué problema obliga a salir del conjunto en el que se estaba. No hay fechas, ni anécdotas, ni autores. Si un dato de ese tipo no se comprueba en el enunciado, no se usa.
En esta lección ℕ es el conjunto de los enteros positivos: 1, 2, 3… El cero y los negativos no están. La ecuación x + 5 = 2 pide un número que, sumado a 5, dé 2. En ℕ no existe: 5 ya es mayor que 2 y sumar un positivo no baja. En ℤ, los enteros, la solución es x = −3, porque −3 + 5 = 2. El negativo entra para que la resta de naturales pueda quedar sin «no se puede».
La ecuación 2x = 1 no tiene solución entera: 2 por un entero nunca da 1, porque el resultado sería par. En ℚ, los racionales, x = 1/2. Un racional es un cociente de enteros con denominador distinto de cero. Toda ecuación ax = b con a ≠ 0 y a, b enteros tiene solución racional b/a.
La ecuación x2 = 2 no tiene solución racional. La prueba, por reducción al absurdo, es esta. Supón que √2 = p/q con p y q enteros, q ≠ 0, y la fracción irreducible: p y q no tienen un factor primo común. Entonces p2 = 2 q2. El lado derecho es par, luego p2 es par, luego p es par: si p fuera impar, p2 sería impar. Escribe p = 2k. Entonces (2k)2 = 2 q2, así 4k2 = 2 q2 y q2 = 2 k2. El mismo argumento dice que q es par. Pero entonces p y q comparten el factor 2, contra la hipótesis de fracción irreducible. No existe tal fracción. El real √2 es la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, porque el teorema de Pitágoras da 12 + 12 = 2. ℝ completa la recta con números que no son cocientes de enteros.
La ecuación x2 = −1, o x2 + 1 = 0, no tiene solución real: un cuadrado real no es negativo. En ℂ las soluciones son i y −i, con i2 = −1. Cada ampliación responde a una operación o a una ecuación que el conjunto anterior no podía cerrar. No se tira el conjunto viejo: ℕ está dentro de ℤ, ℤ dentro de ℚ, ℚ dentro de ℝ y ℝ dentro de ℂ, identificando cada real con a + 0i.
Cada ecuación nombra el primer conjunto de la cadena donde ya tiene solución.
La prueba no dice que √2 «no exista». Dice que no está en ℚ. Está en ℝ.
Se dice que todo real es una fracción «con suficientes decimales». Un decimal finito es racional: 1,414 = 1414/1000. Pero √2 no es igual a ningún decimal finito ni a ninguna fracción. Aproximar no es pertenecer a ℚ.
El error simétrico es tratar √4 como irracional «porque lleva raíz». √4 = 2, y 2 está en ℕ. La raíz no decide el conjunto; lo decide si el resultado se puede escribir o no como cociente de enteros, o si su cuadrado es negativo.
Cada corona añade las soluciones que la anterior no tenía. El dibujo no está a escala de «cuántos números hay»; solo marca la inclusión ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
En la vida real
Contar personas pide naturales. Un saldo puede pedir enteros. Un reparto equitativo de 1 entre 2 pide un racional. La diagonal de un cuadrado de lado 1 pide un real que no es fracción. Una ecuación de segundo grado con discriminante negativo pide complejos si se quieren todas las raíces. Cambiar de conjunto sin decirlo cambia el problema.
Pulsa cada ecuación. La figura resalta el primer conjunto donde ya hay solución y lo escribe al lado. En la caja, redacta con tus palabras por qué √2 no es un racional, siguiendo los cinco pasos del ejemplo 2.
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Respuesta: en ℤ, x = −3. No está en ℕ.
Por qué: un natural positivo sumado a 4 da al menos 5, nunca 1. −3 + 4 = 1, y −3 es entero.
Respuesta: en ℚ, x = 2/3. No está en ℤ.
Por qué: 3 por un entero es múltiplo de 3, y 2 no lo es, así que 3x = 2 no tiene solución en ℤ. La operación se sale del conjunto de partida: dividir 2 entre 3 no deja un entero. Ese es el salto que obliga a ampliar, de ℤ a ℚ. En ℚ la solución sí cabe, x = 2/3, porque 2 / 3 = 2/3
3 · 2 = 6
6 / 3 = 2 y 2/3 es racional. El mismo motivo que antes llevó de ℕ a ℤ: la ecuación pide un número que el conjunto del que se partía no tiene, y por eso el conjunto crece.
Respuesta: ningún real tiene cuadrado negativo. Las soluciones i y −i están en ℂ.
Por qué: el cuadrado de un real es ≥ 0. i2 = −1 por la definición que amplía el conjunto, y (−i)2 = i2 = −1.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
ℕ no resta siempre. ℤ no divide siempre. ℚ no tiene √2. ℝ no tiene raíz de −1. ℂ cierra esa ecuación. La inclusión es el argumento; no hace falta una anécdota.
Para cada conjunto de ℕ a ℂ, escribe una ecuación que tenga solución ahí y no en el conjunto anterior de la cadena. Comprueba la solución sustituyendo. No añadas fechas.
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