1º Bach Matemáticas Generales · CyL Decreto 40/2022 · E.2 Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes
Objetivos
Reconstruir verdaderos positivos y falsos positivos a partir de la prevalencia y de las tasas de la prueba.
Calcular la probabilidad total de dar positivo sumando los dos caminos.
Aplicar Bayes como el peso del camino buscado dentro de todos los positivos, y ver cómo cambia si cambia la prevalencia.
Primero las cuatro casillas, después el cociente
La probabilidad total descompone un suceso según una partición. Aquí la partición es «tiene el déficit» o «no lo tiene». Dar positivo puede ocurrir por los dos lados, y Bayes pregunta, ya visto el positivo, qué parte de esos positivos venía del lado del déficit. La sensibilidad no contesta esa pregunta: la sensibilidad solo mira a quienes sí tienen el déficit.
Con mil personas las cuentas se ven sin decimales escondidos. Enfermos: 100. La prueba acierta en el 90 %, luego 90 verdaderos positivos y 10 falsos negativos. Sanos: 900. Especificidad del 80 %, luego 720 verdaderos negativos y 180 falsos positivos. Positivos totales: 90 + 180 = 270. De ellos, solo 90 tienen el déficit: 90/270 = 1/3. Quien oiga «la prueba acierta el 90 %» y crea que un positivo significa un 90 % de déficit está leyendo la rama equivocada del árbol.
La fórmula compacta dice lo mismo: 0,90 · 0,10 = 0,09
0,09 / 0,27 = 1/3
P(D|+) = 1/3. El numerador 0,09 es el camino de los verdaderos positivos sobre las mil personas; el denominador es la probabilidad total de positivo. El segundo ejemplo cambia de contexto, a dos líneas de producción, y el tercero cambia solo la prevalencia para ver que el mismo test no arrastra el mismo posterior.
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Del árbol al tercio
Con 1000 alumnos, prevalencia 10 %, sensibilidad 90 % y especificidad 80 %, calcula cuántos positivos hay y qué fracción de ellos tiene el déficit.
Partición: 0,10 · 1000 = 100 con déficit y 900 sin él. Esta fila se escribe antes de tocar la prueba.Glosa: la prevalencia manda el tamaño de cada rama. Sin ella no hay falsos positivos que contar.
En los 100, el 90 % da positivo: 90 verdaderos positivos y 10 falsos negativos. En los 900, el 20 % da positivo falso: 180. Los otros 720 son negativos verdaderos.Glosa: 0,20 · 900 = 180. La especificidad es el 80 % complementario, no un adorno.
Probabilidad total de positivo, en personas: 90 + 180 = 270, es decir 270/1000 = 0,27. Son dos caminos, no uno.Glosa: olvidar los 180 deja el denominador en 90 y la probabilidad condicionada en 1, absurda.
Bayes: 90/270 = 1/3 ≈ 0,333. Un positivo, en este grupo, deja el déficit en un tercio, no en el 90 % de la sensibilidad.Glosa: 90/270 = 1/3 exactamente. No hace falta redondear a 0,33 para verlo.
Ejemplo resuelto 2 — La pieza defectuosa y la línea
La línea A fabrica el 60 % de las piezas y el 2 % de las suyas salen defectuosas. La línea B fabrica el 40 % y el 5 % de las suyas salen defectuosas. Una pieza es defectuosa: ¿qué probabilidad hay de que venga de B?
Caminos hacia el defecto, en tanto por uno: A aporta 0,60 · 0,02 = 0,012. B aporta 0,40 · 0,05 = 0,020.Glosa: cada producto es producción por tasa. La tasa sola, 0,05, no es la probabilidad de venir de B.
Probabilidad total de defecto: 0,012 + 0,020 = 0,032. El defecto es más frecuente por la rama B aunque A fabrique más piezas.Glosa: 0,020 es mayor que 0,012 porque la tasa de B compensa, y sobrepasa, su menor producción.
Bayes hacia B: 0,020 / 0,032 = 20/32
20/32 = 5/8
5/8 = 0,625. Hacia A queda 0,012/0,032 = 3/8 = 0,375.Glosa: las dos posteriores suman 1. Si no sumaran, se habría perdido un camino.
No vale quedarse en «B tiene más porcentaje de fallos, luego es B». Sin el 40 % de producción, el peso 0,020 no existiría. Las dos cifras de cada línea entran en el producto.Glosa: 0,05 / (0,05 + 0,02) = 5/7 ≈ 0,71 olvidaría cuánto fabrica cada línea y no es Bayes.
Ejemplo resuelto 3 — La misma prueba, otra prevalencia
El mismo test (sensibilidad 90 %, falsos positivos 20 %) se usa en un grupo donde la mitad tiene el déficit, 500 de 1000. Recalcula P(déficit | positivo).
Nuevas casillas de enfermos: 500. Verdaderos positivos: 0,90 · 500 = 450. Falsos negativos: 50.Glosa: se rehace la partición. No se reutiliza el 100 del ejemplo primero.
Sanos: 500. Falsos positivos: 0,20 · 500 = 100. Verdaderos negativos: 400.Glosa: al haber menos sanos, los falsos positivos bajan de 180 a 100 aunque la tasa sea la misma.
Positivos: 450 + 100 = 550. Bayes: 450/550 = 45/55
45/55 = 9/11 ≈ 0,818.Glosa: 450 ÷ 50 = 9 y 550 ÷ 50 = 11. El posterior ahora sí es alto, porque el déficit ya era frecuente.
La sensibilidad no se ha movido del 90 % y el posterior ha pasado de 1/3 a 9/11. Bayes depende de la prevalencia. Memorizar el resultado del primer grupo y pegarlo en el segundo es el error.Glosa: un test no trae su posterior puesto. Lo fabrica junto con la frecuencia de partida.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Sube la especificidad
En el grupo de 1000 con 100 afectados, la sensibilidad sigue en el 90 % pero la especificidad pasa al 90 % (solo un 10 % de falsos positivos). Recalcula P(déficit | positivo).
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es volver a contar los falsos positivos desde los 900 sanos, no retocar el 180 a ojo. Con especificidad del 90 %, el falso positivo es el 10 % de 900, o sea 90. Los verdaderos positivos no cambian: siguen siendo 90. Los positivos totales pasan a 90 + 90 = 180. Bayes da 90/180 = 1/2. Antes, con 180 falsos, el posterior era 1/3; al reducir los falsos a la mitad, el positivo pesa más y el posterior sube a un medio. No sube hasta el 90 %, porque todavía hay tantos falsos positivos como verdaderos. La sensibilidad sola seguiría engañando.
2. No olvides la producción
En las líneas A y B del ejemplo, alguien dice que una defectuosa viene de B con probabilidad 0,05 / (0,05 + 0,02). Explica qué dato ha tirado y cuál es el posterior correcto.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso que falta es multiplicar cada tasa por la fracción de producción antes de comparar. 0,05 y 0,02 son probabilidades condicionadas a la línea, no pesos de las líneas. A fabrica el 60 % y B el 40 %, así que los caminos son 0,60·0,02 = 0,012 y 0,40·0,05 = 0,020. El posterior de B es 0,020/0,032 = 5/8 = 0,625, no 0,05/0,07 ≈ 0,714. La cuenta sin producción trataría a las dos líneas como si fabricaran lo mismo, y no es el caso. Bayes de una causa entre dos exige el producto de la previa por la verosimilitud, las dos cosas, y luego normalizar por la suma.
3. Negativo no es imposible
En el primer cribado, ¿qué probabilidad hay de tener el déficit habiendo dado negativo? Usa los 10 y los 720.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es aplicar la misma lógica de Bayes al suceso «negativo», no concluir cero porque la prueba haya dicho que no. Los negativos son los 10 falsos negativos más los 720 verdaderos negativos: 730. De ellos, 10 sí tienen el déficit. El posterior es 10/730 = 1/73 ≈ 0,0137. Es pequeño, mucho menor que el tercio de un positivo, y no es cero: la sensibilidad del 90 % deja escapar a 10 personas de las 100. Decir «si sale negativo, seguro que no lo tiene» convierte un 10 % de fallos entre los enfermos en una imposibilidad. La probabilidad total de negativo es 730/1000 = 0,73, y Bayes se queda con la parte 10/730.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Por qué un positivo no significa un 90 % de déficit en el primer cribado?
Porque el 90 % es la sensibilidad, calculada solo entre los 100 que sí tienen el déficit. Por qué: entre los positivos hay 90 verdaderos y 180 falsos, 270 en total, y 90/270 = 1/3. La mayoría de los positivos, en este grupo poco afectado, son falsos. El árbol lo separa antes de dividir.
En las dos líneas, ¿por qué el posterior de B es 5/8 y no «la tasa más alta»?
Porque hay que ponderar el 5 % por el 40 % de producción. Por qué: el camino de B es 0,020 y el total de defecto es 0,032, y 0,020/0,032 = 5/8. La tasa 0,05 sin el peso de la línea no es una probabilidad sobre las piezas defectuosas.
¿Qué le pasa al posterior del déficit si la prevalencia pasa del 10 % al 50 %, con el mismo test?
Sube de 1/3 a 9/11, unos 0,818. Por qué: ahora hay 450 verdaderos positivos y solo 100 falsos, 450/550 = 9/11. La sensibilidad sigue en el 90 %. Cambia el posterior porque cambia cuánta gente parte con el déficit, no porque la prueba se haya vuelto otra.
Reto Profesor
Las cuatro casillas primero
En el lienzo dibuja el árbol con 100 y 900, escribe 90 y 180 en las hojas positivas y la división 90/270 al lado. No pongas 0,90 como respuesta final.