Estadística: leer sin deformar

Objetivos

• Calcular media, mediana y moda de una distribución concreta y no confundirlas.
• Comparar dos grupos por la media y no por el total, cuando los tamaños son distintos.
• Explicar por qué un eje que no nace en cero deforma la comparación de barras.

Frecuencia, promedio y escala

Interpretar estadística no es repetir el número que destaca el titular. Hay que saber qué se ha contado, cuántos individuos hay y qué operación resume la distribución. En el gráfico cada barra es un número de alumnos, no un «nivel de lectura» inventado.

frecuencia = cuántos individuos caen en ese valor · media = suma de todos los valores dividida entre el número de individuos · mediana = valor central de la lista ordenada · moda = valor de mayor frecuencia · el eje vertical de un diagrama de barras de frecuencias empieza en 0

Los 20 datos suman 0 · 2 = 0
1 · 5 = 5
0 + 5 = 5
2 · 7 = 14
5 + 14 = 19
3 · 4 = 12
19 + 12 = 31
4 · 2 = 8
31 + 8 = 39 libros. La media es 39/20 = 1,95. La lista ordenada tiene 20 puestos: los puestos 10 y 11 caen los dos en el valor 2 (la barra de 2 ocupa desde el puesto 8 hasta el 14), así que la mediana es 2. La moda también es 2, porque su frecuencia, 7, es la mayor. Media, mediana y moda no tienen por qué coincidir; aquí la media queda un poco por debajo porque los ceros tiran hacia abajo.

Un segundo grupo de 10 alumnos suma 30 libros. Su total es menor (30 frente a 39), pero su media es 30/10 = 3, mayor que 1,95. Quien compare totales dirá que el primer grupo lee más; quien compare medias dirá que el alumno típico del segundo grupo lee más. Las dos frases hablan de cosas distintas y solo la segunda compara individuos.

Gráfico del ejemplo

La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.

Ejemplo resuelto 1 — Media, mediana y moda del gráfico

Con las frecuencias de la figura, calcula la media, explica por qué la mediana es 2 y señala la moda. Redondea la media a dos decimales.

1. La suma de libros es 0·2 + 1·5 + 2·7 + 3·4 + 4·2 = 5 + 14 = 19
   19 + 12 = 31
   31 + 8 = 39. Hay 20 alumnos, no 5 valores distintos.Glosa: el denominador de la media es el número de individuos, la suma de las frecuencias.
2. Media = 39/20 = 1,95 libros por alumno. No se divide entre 4, que es solo el valor más alto de la tabla.Glosa: dividir entre el número de categorías es un error distinto de dividir entre n − 1.
3. Ordenados, los puestos 10 y 11 están dentro de la acumulada 14, que corresponde al valor 2. Mediana = 2.Glosa: con n par se miran los dos puestos centrales; aquí los dos valen 2 y no hay que promediar valores distintos.
4. La moda es 2 porque la frecuencia 7 es mayor que 5, 4 y 2. En la figura es la barra clara, y la escala permite ver que 7 no es el doble de 5.Glosa: 7/5 = 1,4. La barra de 7 es 1,4 veces la de 5, no «muchísimo mayor».

Ejemplo resuelto 2 — Dos grupos, dos preguntas

El grupo A es el de la figura: 20 alumnos y 39 libros. El grupo B tiene 10 alumnos y 30 libros. ¿Qué grupo ha leído más libros en total? ¿En qué grupo lee más un alumno típico?

1. Total de A: 39. Total de B: 30. En conjunto, A ha leído más libros. Esa frase no habla del alumno típico.Glosa: el total crece con el tamaño del grupo aunque cada persona lea poco.
2. Media de A: 39/20 = 1,95. Media de B: 30/10 = 3. El alumno típico de B lee más.Glosa: para comparar individuos hay que usar el mismo tipo de promedio, aquí la media aritmética.
3. Si alguien dice «A lee más porque 39 es mayor que 30», ha cambiado la pregunta sin avisar. El paso es escribir la pregunta antes de elegir el número.Glosa: total y media responden a decisiones distintas: comprar libros para el grupo, o describir un hábito individual.
4. Comprobación de B: 3 · 10 = 30, cierra. No hace falta la lista de B para esta comparación, pero sí su tamaño. Sin el 10, el 30 no se interpreta.Glosa: un total sin n no permite calcular la media. Pedir n forma parte de leer la estadística.

Ejemplo resuelto 3 — El eje que empieza en 4

Alguien redibuja las frecuencias 5 y 7 (un libro y dos libros) con el eje vertical empezando en 4. Las alturas visibles pasan a ser 1 y 3. Explica la deformación.

1. Con el eje en cero, las alturas están en razón 7:5 = 1,4. La diferencia real es de 2 alumnos.Glosa: la proporción de las barras copia la proporción de las frecuencias solo si el cero está en el eje.
2. Si el eje nace en 4, se ha borrado la misma cantidad en las dos barras. Queda 7 − 4 = 3 frente a 5 − 4 = 1. La razón visible es 3, más del doble.Glosa: restar 4 a los dos datos no conserva el cociente. Por eso el recorte del eje exagera.
3. El gráfico recortado sirve para ver una diferencia pequeña en una escala fina, pero entonces hay que decirlo. Si se presenta como retrato de las frecuencias, engaña.Glosa: en esta lección el diagrama de barras de frecuencias lleva el cero. La figura del ejemplo lo cumple.
4. La moda seguiría siendo 2, porque 7 sigue siendo mayor que 5, pero un lector que solo mira «cuánto más alta» sacaría una conclusión inflada. Interpretar incluye mirar el eje.Glosa: el título de la barra no basta; la unidad del eje es parte del dato.

Ejercicios

Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.

Dibuja en el lienzo

Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.

Comprueba

Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.