1º Bach Matemáticas Generales · CyL Decreto 40/2022 · B.1 Probabilidad como medida de la incertidumbre
Objetivos
Asignar probabilidades con la regla de Laplace cuando los casos son equiprobables.
Situar una probabilidad en el segmento [0, 1].
Usar el suceso contrario y la suma de sucesos incompatibles.
Un número entre imposible y seguro, con casos contados
Decir «hay bastante probabilidad» no mide. La probabilidad de un suceso es un número del intervalo cerrado [0, 1]: 0 es el suceso imposible en ese modelo, 1 es el suceso seguro, y el resto gradúa la incertidumbre. El gráfico lo dibuja como un segmento: el trazo ámbar llega al 60 % del camino entre 0 y 1.
caso favorable = resultado que nos interesa · caso posible = resultado del experimento que el modelo considera · equiprobable = todos los casos posibles pesan igual · P(A) = favorables / posibles en ese modelo · suceso contrario de A = «no ocurre A», y P(contrario) = 1 − P(A)
En la urna hay 5 bolas y el sorteo es al azar, así que cada bola pesa 1/5. Las rojas son 3, luego P(roja) = 3/5 = 0,6. Las azules son 2, P(azul) = 2/5 = 0,4. Suman 1 porque rojo y azul cubren todas las bolas y no se solapan: o sale roja o sale azul.
Laplace no se aplica a ciegas. Si las bolas no salen igual de a menudo (una es mucho mayor, o el sorteo está trucado), los casos dejan de ser equiprobables y el cociente 3/5 deja de ser el modelo. La probabilidad sigue siendo una medida entre 0 y 1, pero hay que estimarla de otra forma.
Suceso
Favorables
Posibles
Probabilidad
Lugar en [0, 1]
roja
3
5
3/5 = 0,6
la marca del gráfico
azul
2
5
2/5 = 0,4
a la izquierda del 0,6
roja o azul
5
5
1
extremo derecho
verde
0
5
0
extremo izquierdo
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — La urna del gráfico
Se extrae una bola al azar. Calcula P(roja), P(azul) y sitúa P(roja) en [0, 1].
Cuenta posibles: 5 bolas, un solo sorteo, mismas condiciones. El denominador es 5.Glosa: el denominador no es 2 «porque hay dos colores»; los colores no son equiprobables entre sí.
Favorables a roja: 3. P(roja) = 3/5 = 0,6. Favorables a azul: 2. P(azul) = 2/5 = 0,4.Glosa: 3/5 no se simplifica con el 2 del otro color; son sucesos distintos.
En el segmento, 0,6 está a 3/5 del recorrido. Si el segmento del SVG va de la marca 0 a la marca 1, la señal ámbar cae pasada la mitad, más cerca de 1 que de 0.Glosa: 0,6 no es «más de 1» ni «un 6 %». Un 6 % sería 0,06.
Comprueba 0,6+0,4 = 1. Roja y azul son incompatibles y su unión es el suceso seguro.Glosa: si sumaran más de 1, habrías contado dos veces alguna bola o usado mal el denominador.
Ejemplo resuelto 2 — Dado honesto
En un dado de 6 caras, calcula P(par) y el suceso contrario.
Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Seis, equiprobables si el dado es honesto.Glosa: las caras son el espacio, no «par e impar» como si solo hubiera dos casos iguales sin contar caras.
Pares: 2, 4, 6. Tres favorables. P(par) = 3/6 = 1/2.Glosa: 3/6 se simplifica a 1/2, pero el recuento original eran 3 caras de 6.
El contrario es «impar»: 1, 3, 5. P(impar) = 1 − 1/2 = 1/2. También 3/6.Glosa: restar de 1 sirve porque toda cara es par o impar, sin tercera opción.
Comprueba que par e impar no comparten caras y cubren el dado. Por eso sus probabilidades suman 1.Glosa: si el suceso fuera «mayor que 4», el contrario no es «menor que 4»: también está el 4, que no es mayor que 4.
Ejemplo resuelto 3 — Incompatibles en la misma urna
Con la urna de 5 bolas, P(roja) = 3/5 y P(azul) = 2/5. Calcula P(roja o azul) y explica por qué se suman.
Roja y azul no pueden salir a la vez en una sola extracción: son incompatibles. Su intersección está vacía.Glosa: incompatible significa que el modelo asigna probabilidad 0 a la intersección, no que «sean distintos de nombre».
P(unión) = P(roja) + P(azul) =3 / 5 = 3/5
2 / 5 = 2/5
3/5 + 2/5 = 5/5= 1.Glosa: se suman los numeradores porque el denominador común ya es el mismo espacio de 5 bolas.
Contando casos: favorables a «roja o azul» = 5, posibles = 5, cociente 1. El mismo resultado.Glosa: las dos vías (suma de probabilidades y recuento) tienen que coincidir.
Si los sucesos se solaparan, no bastaría sumar: habría que restar la intersección. Aquí esa corrección es 0.Glosa: el caso de la unión de lecciones de conteo reaparece: no se puede sumar dos veces lo común.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Una verde añadida
Añades una bola verde a la urna (ahora hay 6). Calcula P(roja) y di hacia dónde se mueve la marca en [0, 1].
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El denominador cambia: ya no hay 5 bolas sino 6, y las rojas siguen siendo 3 si no has añadido una roja. P(roja) = 3/6 = 1/2 = 0,5. La marca, que estaba en 0,6, se desplaza a la izquierda, hacia el centro del segmento, porque la misma cantidad de favorables se reparte entre más casos posibles. El paso que suele fallar es dejar el denominador en 5 después de haber metido la bola nueva. Comprueba que 0,5 está a mitad de camino entre 0 y 1, a la izquierda de la marca dibujada.
2. Contrario de un color
Sin añadir bolas, ¿cuál es la probabilidad de no sacar roja? Escríbela como resta y como cociente.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
No sacar roja, en esta urna, es sacar azul: hay 2 azules de 5, así que el cociente es 2/5. Por el contrario, 1 − 3/5 = 2/5. Las dos escrituras cuentan lo mismo porque toda bola no roja es azul: no hay verdes en el modelo original. El paso es identificar el contrario dentro del espacio real de la urna, no inventar un color. Si hubiera verdes, «no roja» sería azul o verde y el numerador sería la suma de esas bolas, mientras que 1 − P(roja) seguiría siendo válido.
3. Casos que no pesan igual
Alguien dice que P(roja) = 1/2 porque «o sale roja o no». ¿Qué hipótesis de Laplace está usando mal?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Está tomando dos casos, «roja» y «no roja», y suponiéndolos equiprobables. En la urna no lo son: hay 3 rojas y 2 no rojas, así que «roja» pesa 3/5 y no 1/2. Laplace exige que los casos del denominador sean igual de verosímiles. Las cinco bolas sí lo son; los dos colores, no, porque agrupan cantidades distintas de bolas. El paso correcto es contar resultados elementales equiprobables (las bolas) y no atajos verbales de «sí o no». Por eso el segmento marca 0,6 y no 0,5.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Dónde está marcada P(roja) en el segmento?
En 3/5 = 0,6, más allá de la mitad. Por qué: hay 3 bolas rojas entre 5 equiprobables, y el segmento [0, 1] representa la probabilidad, no el número de bolas. 3 bolas no se marcan en el punto 3.
¿Por qué P(verde) = 0 no contradice que el 0 sea «imposible»?
En este modelo es imposible sacar verde porque no hay bolas verdes. Por qué: el 0 no es una opinión; es el cociente 0/5. Si el experimento cambiara y hubiera verdes, el modelo cambiaría y ese 0 dejaría de valer.
Par e impar en el dado suman 1. ¿Eso demuestra que cada uno vale 1/2 sin contar caras?
No del todo. Por qué: dos contrarios siempre suman 1, pero podrían valer 1/6 y 5/6, por ejemplo «sacar un 6» y «no sacar un 6». Que sumen 1 no los hace iguales. En el dado, par e impar valen 1/2 porque cada uno reúne 3 caras de 6, no porque sean contrarios.
Reto Profesor
Una urna de verdad
Dibuja en el lienzo una urna con tus datos (hasta 8 bolas), calcula una probabilidad y marca el punto en un segmento [0, 1].