Calcular uniones con inclusión-exclusión y justificar cada resto.
Palomar
Si colocas n+1 objetos en n cajas, alguna caja tiene al menos 2. Más general: si hay más de k·n objetos en n cajas, alguna tiene al menos k+1. La prueba es por contradicción: si todas las cajas tuvieran ≤k, el total sería ≤k·n.
Ejemplo resuelto 1 — meses
En un grupo de 13 personas, ¿se puede asegurar que al menos dos cumplen años el mismo mes?
Hay 12 meses = 12 «cajas».Glosa: cada mes es un nido del palomar.
13 personas = 13 «palomas». Como 13 = 12+1, el palomar simple aplica.Glosa: n=12, n+1=13.
Conclusión: algún mes contiene al menos dos cumpleaños.Glosa: no identificamos el mes; solo garantizamos que existe.
Si fueran 12 personas, podría haber una por mes y no forzaríamos el doble.Glosa: el +1 es esencial.
Ejemplo resuelto 2 — inclusión-exclusión
En un grupo, 20 personas hablan inglés (A), 15 hablan francés (B) y 6 hablan los dos. Halla cuántas hablan al menos un idioma, es decir |A∪B|.
Si sumas |A| + |B| = 20 + 15 = 35, las 6 personas de la intersección entran dos veces: una por inglés y otra por francés.Glosa: el síntoma del doble conteo es que la suma de los dos conjuntos supera a la unión; 35 no es el número de personas.
La inclusión-exclusión resta una sola vez lo que sobra: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|
20 + 15 = 35
35 − 6 = 29
|A| + |B| − |A∩B| = 29.Glosa: restar |A∩B| exactamente una vez deja a cada persona contada una sola vez, ni cero ni dos.
Comprueba por regiones del diagrama. Solo A: 20 − 6 = 14. Solo B: 15 − 6 = 9. Ambos: 6. La suma 14 + 9 = 23
23 + 6 = 29 coincide con la fórmula.Glosa: el desglose no es otro resultado; es la misma unión partida en tres trozos disjuntos.
Si no restaras, dirías 35 y contarías a las bilingües como dos personas. Si restaras dos veces,
20 + 15 = 35
35 − 12 = 23, las habrías borrado del todo.Glosa: las dos desviaciones (no restar, o restar de más) se cazan comparando con las tres regiones.
Ejemplo resuelto 3 — calcetines (peor caso)
En un cajón hay calcetines de 3 colores, muchos de cada uno. ¿Cuántos debes sacar a ciegas para garantizar al menos 3 del mismo color?
El palomar, en la forma «al menos k+1 en alguna casilla», mira el peor reparto, no un caso favorable. Quieres 3 iguales, así que el peor caso es quedarte en 2 por color.Glosa: garantizar significa que ya no exista ningún reparto que se escape; no basta con que «pueda ocurrir».
Con n = 3 colores y k = 2 calcetines por color, ese peor caso tiene k·n = 2·3 = 6 calcetines y todavía ningún color llega a 3.Glosa: k es uno menos que la cantidad que quieres forzar; n es el número de casillas, aquí los colores.
El calcetín siguiente, el 7º, cae en un color que ya tiene 2 y ese color pasa a 3. La cuenta es k·n + 1 = 6 + 1 = 7.Glosa: el +1 rompe el empate del peor caso; sin él solo has descrito una situación que aún no garantiza nada.
Con 3 no basta: podrías sacar uno de cada color. Con 6 tampoco, por el paso 2. Siete es el primer número que cierra todas las escapatorias.Glosa: no confundas «el mínimo que garantiza» con «el mínimo con el que a veces ya lo consigues».
Ejercicios
1. Días de la semana
En una clase de 25, ¿se puede asegurar que al menos 3 nacieron el mismo día de la semana? Justifica con k·n+1.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Hay n=7 días. Para forzar al menos 3 en un día usas k=2: el peor caso es 2 por día = 14 personas; la persona 15ª fuerza un tercero en algún día. Como 25>14, sí se asegura. El principio da existencia, no el día concreto. Si la clase tuviera solo 14, aún podrías tener exactamente 2 por día y no garantizar 3.
2. Unión
|A|=12, |B|=9, |A∩B|=4. Calcula |A∪B| y explica qué representa cada sumando y el resto.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
12 + 9 = 21
21 − 4 = 17
|A∪B| = 17. El 12 cuenta a todos los de A; el 9 a todos los de B; al sumar, los 4 de la intersección van dos veces, así que restas 4 una vez. Equivalente: solo A = 8, solo B = 5, ambos = 4;8 + 5 = 13
13 + 4 = 17. Sin restar obtendrías 21, hinchado.
3. Calcetines 4 colores
Misma lógica: garantizar 3 del mismo color con 4 colores. ¿Cuántos sacas? Explica el peor caso.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Peor caso: 2 de cada color = 8; el 9º fuerza un tercero de algún color. Es k·n+1 con k=2, n=4. Sacar 3 no garantiza nada (podrían ser tres colores distintos). «Garantizar» mira el escenario adversario, no el afortunado.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿El palomar dice qué caja tiene el mínimo?
No. Solo garantiza que existe al menos una caja con el número anunciado. La prueba supone lo contrario (todas por debajo del umbral) y obtiene que el total sería demasiado pequeño. Por eso el enunciado correcto dice «alguna» o «al menos una», nunca «la caja número 3».
¿Por qué restar la intersección en la unión?
Porque |A|+|B| cuenta dos veces cada elemento de A∩B. Restar |A∩B| una vez deja cada elemento de la unión contado exactamente una vez. Es la versión de dos conjuntos de la inclusión-exclusión; sin ese resto el cardinal queda sistemáticamente hinchado.
Fórmula para garantizar k+1 en n cajas
Sacas k·n+1 objetos. El peor caso llena cada caja con exactamente k; el objeto siguiente rompe ese equilibrio y alguna caja pasa a k+1. Por eso 3 colores y garantizar 3 iguales pide 2 · 3 = 6
6 + 1 = 7, no 3.
Reto Profesor
Palomar real
Inventa un palomar con taquillas o filas del aula; escribe n, k y el número que garantiza el forzamiento.