Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato

Lección 18 · C.3 · Desigualdad

Inecuaciones polinómicas y racionales

1º Bach CCSS · CyL Decreto 40/2022 · C.3 Igualdad y desigualdad

Objetivos

Cuadro de signos

Se pasa todo a un miembro, se factoriza y se marcan en la recta los ceros del numerador y los del denominador. Esos puntos parten la recta en intervalos donde el signo no cambia. En cada intervalo se prueba un número. El cero del numerador entra en la solución solo si la desigualdad es ≤ o ≥. El cero del denominador no entra nunca: la expresión no existe ahí.

(x − a)(x − b) > 0 se lee en los intervalos que dejan a y b.

a y b son las raíces, ordenadas en la recta; x es la incógnita; el producto es positivo fuera de las raíces si los dos factores tienen el mismo signo.
Cuadro de signos de (x − 2)(x − 3): positivo fuera de 2 y 3 2 3 + − + Solución de > 0: (−∞, 2) ∪ (3, ∞)

Ejemplo 1. Polinómica estricta

x² − 5x + 6 > 0.

  1. Se factoriza: (x − 2)(x − 3) > 0. Puntos críticos: 2 y 3.
  2. Prueba x = 0: (+)(+), positivo. Prueba x = 2,5: (−)(+), negativo. Prueba x = 4: positivo.
  3. La desigualdad es estricta: 2 y 3 no entran.
  4. Solución: (−∞, 2) ∪ (3, ∞).

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

x es la incógnita; 2 y 3 son las raíces del trinomio; 5 es la suma cambiada de signo de las raíces y 6 es su producto.

Ejemplo 2. Racional, con un hueco

(x − 1) / (x + 2) ≤ 0.

  1. El denominador se anula en x = −2: ese punto queda fuera.
  2. El numerador se anula en x = 1: como la desigualdad admite el cero, x = 1 entra.
  3. Signo: x = −3 da (−4)/(−1)
    −3 da (−4)/(−1) = 4 > 0. x = 0 da (−1)/2 < 0. x = 2 da 1/4 > 0.
  4. Solución: (−2, 1].

(x − 1) / (x + 2) ≤ 0, x ≠ −2.

x es la incógnita; 1 es el cero del numerador, que sí puede ser solución; −2 es el cero del denominador, que nunca lo es.

Ojo con el tramo x < −2: ahí numerador y denominador son negativos a la vez y el cociente es positivo, así que no cumple ≤ 0.

Dibuja el ejercicio, en esta página

La inecuación es la del ejercicio 2: (x − 4) / (x + 1) ≥ 0. La ventana va de −6 a 8. El lienzo es el cuaderno: marca el hueco, marca el cero que sí entra, prueba un entero en cada tramo y sombrea los tramos que cumplen. No hay otra página.

Elige una herramienta y pulsa la recta.

Ejercicios

1. Trinomio

Resuelve x² − x − 6 < 0.

Corrección
  1. (x − 3)(x + 2) < 0. Críticos: −2 y 3.
  2. x = 0: (negativo en el sentido del producto) 0 − 0 − 6 = −6 < 0, dentro.
  3. x = 4:
    16 − 4 = 12
    12 − 6 = 6 > 0, fuera.x = −3:
    9 + 3 = 12
    12 − 6 = 6 > 0, fuera.
  4. Desigualdad estricta. Solución: (−2, 3).

El producto de dos factores es negativo solo entre las raíces. Los extremos no entran porque la desigualdad no admite el cero.

2. Racional con igualdad

Resuelve (x − 4) / (x + 1) ≥ 0.

Corrección
  1. Hueco: x ≠ −1. Cero del numerador: x = 4, y ≥ lo incluye.
  2. x = −2:
    (−6)/(−1) = 6 > 0. x = 0: −4/1 < 0. x = 5: 1/6 > 0.
  3. Positivo en (−∞, −1) y en (4, ∞); cero en x = 4.
  4. Solución: (−∞, −1) ∪ [4, ∞).

x = −1 no se añade aunque el cuadro cambie de signo ahí: la expresión no existe. x = 4 da cociente 0, y 0 ≥ 0.

Solución de (x − 4)/(x + 1) ≥ 0: hueco en −1, cero incluido en 4 −1 4 + − + Solución: (−∞, −1) ∪ [4, ∞)

3. Diferencia de cuadrados

Resuelve x² − 4 ≥ 0.

Corrección
  1. (x − 2)(x + 2) ≥ 0. Críticos: −2 y 2.
  2. Fuera de las raíces el producto es positivo; entre ellas es negativo.
  3. La igualdad entra: x = ±2 dan 0.
  4. Solución: (−∞, −2] ∪ [2, ∞).

x = 0 da −4, que no cumple. x = −3 da 5 ≥ 0 y x = 2 da 0, que sí cumple porque la desigualdad no es estricta.

4. Pasar el 1 al otro miembro

Resuelve (2x + 1) / (x − 3) < 1.

Corrección
  1. Se resta 1: (2x + 1 − (x − 3)) / (x − 3) < 0.
  2. Numerador: 2x + 1 − x + 3 = x + 4. Queda (x + 4) / (x − 3) < 0.
  3. Críticos: −4 (cero, no entra por ser <) y 3 (hueco).
  4. Signo negativo solo en (−4, 3). Solución: (−4, 3).

En x = −4 el cociente original vale 1, y 1 no es menor que 1. En x = 0 vale −1/3, que sí es menor que 1. x = 3 no existe.

Cierre

Dibuja la recta, marca ceros y huecos, prueba un punto por tramo y decide los corchetes al final. El hueco del denominador no se cierra nunca.