Probabilidad total: dos caminos, fracciones exactas

Objetivos

1. Aplicar la probabilidad total con dos caminos.
2. Dejar el resultado en fracción exacta, sin decimal inventado.
3. Comprobar que el complemento también suma 1.

Explicación

Dos caminos que llegan al mismo suceso

Si un suceso D puede ocurrir por varias vías disjuntas (máquina 1 o máquina 2, lluvia o no…), la probabilidad total es la suma de las conjuntas de cada vía:

P(D) = P(M₁)·P(D | M₁) + P(M₂)·P(D | M₂)

Las vías tienen que cubrir todas las maneras de llegar a D y no solaparse.

Cada camino es un producto: la probabilidad de entrar por esa vía, por la probabilidad del suceso dentro de la vía. Sumar las condicionadas sin los pesos cuenta como si las dos máquinas fabricaran lo mismo, y no es el caso: una hace 2/5 de las piezas y la otra 3/5. El complemento se calcula con las tasas contrarias, 9/10 y 4/5, no restando a ojo un decimal. Si defecto y buena no suman 1, falta un camino o se ha usado un denominador distinto en cada sumando.

La fracción exacta y el decimal exacto no son enemigos.4/25 = 16/100
16/100 = 0,16, sin redondear. Lo que no se puede cortar es una fracción periódica. 1/3 no es 0,33: tres veces 0,33 suman 0,99, no 1. Por eso el retraso del ejemplo 2 se deja en 1/3, y el defecto del ejemplo 1 puede escribirse 4/25 o 0,16, que son el mismo valor. Decir que «no se redondea a 0,16» confunde las dos situaciones. Abajo queda la corrección al lado de la cuenta.

Ejemplo 1 · Dos máquinas y un defecto

La máquina 1 fabrica el 2/5 de las piezas y tiene probabilidad de defecto 1/10. La máquina 2 fabrica el 3/5 y tiene probabilidad de defecto 1/5.

1. Camino 1: (2/5)·(1/10) = 2/50 = 1/25.
2. Camino 2: (3/5)·(1/5) = 3/25.
3. P(defecto) = 1/25 + 3/25 = 4/25.

Complemento: P(buena) = (2/5)·(9/10) + (3/5)·(4/5) =18 / 50 = 9/25
12 / 25 = 12/25
9/25 + 12/25 = 21/25.

Suma: 4 / 25 = 4/25
21 / 25 = 21/25
4/25 + 21/25 = 1. Las dos vías y el complemento cierran.

Ejemplo 2 · Lluvia y autobús, fracciones

P(llueve) = 1/3. Si llueve, P(retraso) = 1/2. Si no llueve, P(retraso) = 1/4. P(no llueve) = 2/3.

1. Camino lluvia y retraso: (1/3)·(1/2) = 1/6.
2. Camino seco y retraso: 2 / 3 = 2/3
   1 / 4 = 1/4
   2 / 3 = 2/3
   2/3 · 1 = 2/3
   2/3 / 4 = 1/6.
3. P(retraso) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Condicionada de paso: P(llueve | retraso) = (1/6) / (1/3) =1 / 6 = 1/6
3 / 1 = 3
1/6 · 3 = 1/2. Misma cuenta que en el árbol de la lección anterior.

Ejemplo 3 · Otros pesos, y la corrección del 0,16

Un suceso «éxito» puede llegar por A o por B, disjuntos y que cubren todos los casos. P(A) = 1/4, P(B) = 3/4, P(éxito | A) = 2/3, P(éxito | B) = 1/3. No son las máquinas del ejemplo 1.

1. Paso 1. Camino A: (1/4) · (2/3) = 2/12. Camino B: (3/4) · (1/3) = 3/12. P(éxito) =
   2 / 12 = 1/6
   3 / 12 = 1/4
   1/6 + 1/4 = 5/12.
2. Paso 2. En x = 0, ŷ = 7/6 y el residuo es 1 − 7/6 = −1/6.
   En x = 1:
   (1/2) · 1 = 1/2
   1/2 + 7/6 = 10/6
   10/6 = 5/3
   El residuo es 2 − 5/3 = 1/3.
   En x = 2, ŷ = 1 + 7/6 = 13/6 y el residuo es 2 − 13/6 = −1/6.
3. Paso 3. Condicionada: P(A | éxito) =
   2 / 12 = 1/6
   5 / 12 = 5/12
   1/6 / 5/12 = 2/5. No es P(A) = 1/4. El éxito reordena los pesos: A era la vía menos usada y, dentro de A, el éxito es más frecuente, así que su parte entre los éxitos sube de 1/4 a 2/5.

Corrección visible de una frase de esta misma lección: 4/25, la probabilidad de defecto del ejemplo 1, es exactamente 0,16, porque 4/25 = 16/100. No es un redondeo. El número que sí se estropea al cortar decimales es el retraso 1/3 del ejemplo 2.0,33 + 0,33 = 0,66
0,66 + 0,33 = 0,99, no 1. Se deja 1/3 en fracción. Se puede dejar 4/25 en veinticincoavos para ver el complemento 21/25 de un vistazo, o escribir 0,16, pero no se dice que 0,16 sea una aproximación de 4/25.

Comprobación del paso 3 al revés: (2/5) · (5/12) = 2/12, que es el camino A del paso 1. Y 2 / 5 = 2/5
3 / 5 = 3/5
2/5 + 3/5 = 1, donde 3/5 sería P(B | éxito) = (3/12) / (5/12). Las dos vías del éxito se agotan.

Comprobación cruzada · de qué máquina vino el defecto

Con los caminos del ejemplo 1 se puede dar la vuelta, que no es la probabilidad total sino la condicionada. P(máquina 1 y defecto) = 1/25 y P(defecto) = 4/25, luego P(máquina 1 | defecto) = (1/25) / (4/25) = 1/4. P(máquina 2 | defecto) = (3/25) / (4/25) = 3/4. Suman 1. El peso de fabricación de la máquina 1 era 2/5, no 1/4. 2/5 = 8/20 y 1/4 = 5/20, así que 2/5 es mayor que 1/4. Saber que la pieza es defectuosa baja el peso de la máquina 1, porque su tasa de defecto, 1/10, es menor que la de la máquina 2, 1/5.

Decimal exacto, al lado: 4/25 = 0,16 y 0,16 · 25 = 4, así que no se ha perdido nada al pasar a centésimas. 1/4 = 0,25 y 3/4 = 0,75, y 0,25 + 0,75 = 1. En cambio 1/3 del retraso no cae en un decimal finito. 0,16 sí cae. Mezclar las dos frases —«no redondees» y «no uses decimales»— es lo que hacía parecer falso un 0,16 que es exacto. El reto de los pesos 1/2 y 1/2 no se resuelve en este apartado: aquí los pesos siguen siendo 2/5 y 3/5.

Los cuatro caminos, no solo los dos del defecto, tienen que sumar 1. Defecto y máquina 1: 1/25. Defecto y máquina 2: 3/25. Buena y máquina 1: 9/25. Buena y máquina 2: 12/25. Suma de numeradores: 1 + 3 = 4
4 + 9 = 13
13 + 12 = 25. Sobre 25: 1. El defecto se queda en 4/25 y la pieza buena en 21/25, que es 9/25 + 12/25. Si alguien suma 1+3+9+12 y lo deja «sobre 100» porque ha visto un 0,16, parte el denominador. 25/25 = 1 y 4/25 = 0,16 son compatibles; 4/100 no lo es con esta cuenta.

0,16 · 25 = 4, exacto. Por eso el decimal no es un redondeo de 4/25: es 4/25 escrito en centésimas. El retraso 1/3 no tiene una escritura así en décimas ni en centésimas. 0,3 · 3 = 0,9 y 0,33 · 3 = 0,99. Ahí sí se pierde un resto, y la lección no lo esconde pasando a decimal.

La pieza buena, al revés, y el retraso que no ocurre

P(buena) = 21/25. Dentro de las buenas, P(máquina 1 | buena) = (9/25) / (21/25) = 9/21 = 3/7 y P(máquina 2 | buena) =12 / 25 = 12/25
21 / 25 = 21/25
12/25 / 21/25 = 12/21= 4/7.3 / 7 = 3/7
4 / 7 = 4/7
3/7 + 4/7 = 1. El peso de fabricación de la máquina 1 era 2/5.2 / 5 = 2/5
3 / 7 = 3/7
2/5 − 3/7 = −1/35. Saber que la pieza es buena sube un poco el peso de la máquina 1, al revés de lo que pasaba con el defecto, donde ese peso bajaba a 1/4. No es la probabilidad total: es la condicionada, y usa las conjuntas que la total ya había calculado.

En la lluvia, el complemento del retraso también se arma por caminos. P(no retraso | llueve) = 1/2 y P(no retraso | no llueve) = 3/4. Caminos: (1/3)·(1/2) = 1/6 y (2/3)·(3/4) = 1/2 = 3/6. Suma 4/6 = 2/3, que es 1 − 1/3. P(llueve | no retraso) = (1/6) / (2/3) = 1/4. No es 1/3, la probabilidad de lluvia sin dato, ni 1/2, que era P(llueve | retraso). El dato cambia la condicionada en los dos sentidos.

Columna del retraso: 1/6 + 1/6 = 1/3. Columna de no retraso: 1 / 6 = 1/6
3 / 6 = 1/2
1/6 + 1/2 = 2/3. Filas: 1/6 + 1/6 = 1/3, que es P(llueve), y 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3, que es P(no llueve). Las cuatro celdas suman 6/6 = 1. Nada de esto cambia los pesos 2/5 y 3/5 de las máquinas: son otro enunciado, y el reto de pasarlos a 1/2 no se hace en esta tabla.

3/7 y 4/7 distan 1/7. Entre las piezas buenas, la máquina 2 lleva esa ventaja porque fabrica más, 3/5 contra 2/5, y su tasa de pieza buena, 4/5, no es tan baja como para anular el peso. 4/5 frente a 9/10: la máquina 1 es más fina, y por eso su condicionada 3/7 queda por encima de su peso de fabricación solo un poco, 1/35, como ya salió al restar. Las dos frases —«fabrica menos» y «falla menos»— tiran en sentidos opuestos. La fracción final dice cuál ha podido más. Aquí, en las buenas, gana el volumen: 4/7 > 1/2 > 3/7.

Error típico

Sumar solo las condicionadas 1/10 + 1/5 = 3/10 y llamar a eso P(defecto). Faltan los pesos 2/5 y 3/5. O hacer
2 / 5 = 2/5
1 / 10 = 1/10
2 / 5 = 2/5
2/5 · 1 = 2/5
2/5 / 10 = 1/25
3 / 5 = 3/5
1 / 5 = 1/5
3 / 5 = 3/5
3/5 · 1 = 3/5
3/5 / 5 = 3/25
1/25 + 3/25 = 4/25 y sumar 2 + 3 = 5 «sobre 50 y 25» sin común denominador.

Tu desarrollo

Escribe aquí los pasos, con unidades o fracciones. Puedes borrar el rótulo y usar el hueco como papel.

Comprueba

Cierre

P(defecto) = 4/25 y P(buena) = 21/25 suman 1. P(retraso) = 1/6 + 1/6 = 1/3. Corrección: 4/25 = 0,16 exactos, porque 4/25 = 16/100. No era un redondeo. Lo que sí es un truncamiento es escribir 1/3 como 0,33: 0,33 · 3 = 0,99, no 1. El retraso se deja en 1/3; el defecto es 4/25, que coincide con 0,16.