Dos sensores, una tabla: conjunta, marginales y condicionada

Objetivos

1. Leer una tabla de parejas (temperatura y luz) y clasificarla con umbrales declarados.
2. Construir la tabla conjunta y las dos marginales.
3. Calcular una probabilidad condicionada por la definición y por la fila, y ver que coinciden.

Explicación

Dos variables a la vez

Una distribución bidimensional cuenta parejas. La conjunta dice cuántas veces ocurren las dos cosas juntas. La marginal suma una fila o una columna y se olvida de la otra variable. La condicionada mira solo una fila (o una columna) y reparte dentro de ella.

Umbrales de este enunciado, fijados antes de contar: temperatura fría si es menor o igual que 15 °C, y templada si es mayor. Luz baja si la lectura es menor que 300, y alta si es mayor o igual que 300.

La conjunta, la marginal y la condicionada no se intercambian. La conjunta pone en el denominador las diez parejas (o las que tenga la lista). La marginal suma una fila o una columna y se olvida de la otra variable. La condicionada se queda dentro de la fila que ya sabes y cambia el denominador. Por eso 3/10, 5/10 y 3/5 pueden ser las tres correctas a la vez: responden a tres preguntas distintas sobre la misma tabla. Si el denominador no es el de la pregunta, el cociente puede estar bien dividido y seguir siendo la respuesta equivocada.

El umbral forma parte del enunciado, no del dibujo. 15 °C es fría porque se fijó «menor o igual que 15» antes de contar; 300 de luz es alta porque se fijó «mayor o igual que 300». Mover el corte después de ver una casilla vacía cambia el experimento. Una segunda lista, más abajo, usa los mismos cortes para que las dos tablas se puedan comparar. No es otra definición de fría.

Ejemplo 1 · Diez lecturas declaradas

Estos diez pares son datos de ejemplo. No salen de una placa encendida.

Recuento: fría y baja, 3; fría y alta, 2; templada y baja, 2; templada y alta, 3. Suman 10.

Ejemplo 2 · Conjunta, marginal y una condicionada

Con diez parejas equiprobables (cada fila de la lista es un caso):

• Conjunta: P(fría y baja) = 3/10.
• Marginal de la temperatura: P(fría) = 5/10 = 1/2. P(templada) = 1/2.
• Marginal de la luz: P(baja) = 5/10 = 1/2. P(alta) = 1/2.

Condicionada por dos caminos.

1. Definición: P(baja | fría) = P(baja y fría) / P(fría) =3 / 10 = 3/10
   1 / 2 = 1/2
   3/10 / 1/2 = 3/5.
2. Dentro de la fila «fría» hay 5 lecturas y 3 son de luz baja: 3/5.

Los dos caminos dan 3/5. No es la conjunta 3/10: condicionar cambia el denominador.

Ejemplo 3 · Otras ocho parejas, mismos umbrales

Datos de ejemplo, no leídos de una placa. Mismos cortes: fría si T ≤ 15 °C; luz baja si la lectura es menor que 300.

1. Paso 1. Recuento: fría y baja, 3 (filas 1, 7 y 8); fría y alta, 1 (fila 5); templada y baja, 2 (filas 2 y 4); templada y alta, 2 (filas 3 y 6).3 + 1 = 4
   4 + 2 = 6
   6 + 2 = 8.
2. Paso 2. En x = 0, ŷ = 7/6 y el residuo es 1 − 7/6 = −1/6.
   En x = 1:
   (1/2) · 1 = 1/2
   1/2 + 7/6 = 10/6
   10/6 = 5/3
   El residuo es 2 − 5/3 = 1/3.
   En x = 2, ŷ = 1 + 7/6 = 13/6 y el residuo es 2 − 13/6 = −1/6.
3. Paso 3. P(alta | fría) por la definición: P(alta y fría) / P(fría) = (1/8) / (1/2) = 1/4. Por la fila fría: 1 alta de 4 frías, también 1/4. Dentro de esa fila, P(baja | fría) = 3/4 y 1 / 4 = 1/4
   3 / 4 = 3/4
   1/4 + 3/4 = 1.

El 15 °C de la fila 8 sigue siendo fría, y el 299 sigue siendo luz baja. Si alguien sube el corte de luz a 299 para «colar» esa fila en alta, la casilla fría y baja pasa de 3 a 2 y la condicionada ya no es 1/4. Eso no corrige la cuenta: cambia el enunciado después de contar.

Comprobación cruzada · ¿salen independientes?

En las ocho parejas, P(fría y alta) = 1/8 y P(fría)·P(alta) =1 / 2 = 1/2
3 / 8 = 3/8
1 / 2 = 1/2
1/2 · 3 = 3/2
3/2 / 8 = 3/16. 1/8 = 2/16, que no es 3/16. La diferencia es 1/16. No son independientes: saber que hace frío cambia la probabilidad de luz alta. Ya lo decía la condicionada, 1/4, distinta de la marginal 3/8.1 / 4 = 1/4
3 / 8 = 3/8
1/4 − 3/8 = −1/8. El producto de marginales es otra forma de ver el mismo desajuste, no un tercer concepto suelto.

En la tabla de diez parejas pasa algo parecido con otros números: P(fría y baja) = 3/10 y P(fría)·P(baja) =1 / 2 = 1/2
1 / 2 = 1/2
1 / 2 = 1/2
1/2 · 1 = 1/2
1/2 / 2 = 1/4.3 / 10 = 3/10
1 / 4 = 1/4
3/10 − 1/4 = 1/20. Tampoco son independientes, aunque las dos marginales valgan 1/2 y la tabla «se vea equilibrada». El equilibrio de los márgenes no obliga a la conjunta 1/4. La casilla es 3/10, y 3/10 se queda.

Las ocho parejas, ahora en frecuencias relativas, para ver que la conjunta ya suma 1 sin esperar a la condicionada:

3 / 8 = 3/8
1 / 8 = 1/8
3 / 8 = 3/8
1 / 8 = 1/8
3/8 + 1/8 = 1/2
2 / 8 = 1/4
1 / 2 = 1/2
1 / 4 = 1/4
1/2 + 1/4 = 3/4
2 / 8 = 1/4
3/4 + 1/4 = 8/8. La fila fría en relativas es 3/8 y 1/8, y al condicionar se divide entre 4/8, no entre 8/8:
1 / 8 = 1/8
4 / 8 = 1/2
1/8 / 1/2 = 1/4, el mismo resultado del ejemplo 3. Dividir la casilla entre el total de la tabla, en vez de entre la fila, devuelve la conjunta 1/8 y contesta otra pregunta.

Error típico

Dividir 3 entre 10 y llamar a eso «probabilidad de luz baja sabiendo que hace frío». 3/10 es la conjunta. La condicionada usa solo los 5 casos fríos: 3/5. Otro fallo es mover el umbral después de ver la tabla para que «quede bonita»: el umbral de esta lección está fijado (15 °C y 300) antes del recuento.

Tu desarrollo

Escribe aquí los pasos, con unidades o fracciones. Puedes borrar el rótulo y usar el hueco como papel.

Comprueba

// Arduino Uno o Nano.
// Luz (LDR en divisor) en A0. Segundo sensor analógico en A1.
// La tabla de la lección es un ejemplo ya declarado: no hace falta leer la placa.
void setup() {
  Serial.begin(9600);
}
void loop() {
  int luz = analogRead(A0);     // 0..1023
  int otro = analogRead(A1);    // 0..1023
  Serial.print(luz);
  Serial.print(" ");
  Serial.println(otro);
  delay(1000);
}

Cierre

De las diez parejas declaradas salen las casillas 3, 2, 2 y 3. P(fría y baja) = 3/10, P(fría) = 1/2 y P(baja | fría) = 3/5, tanto por la definición como contando dentro de la fila.