Operaciones, composición y función inversa

Objetivos

1. Operar con funciones (suma y producto) en un valor concreto.
2. Componer en los dos órdenes y ver que no da lo mismo.
3. Hallar la inversa de f(x) = 2x + 1, comprobar f(f⁻¹(x)) = x y leer la simetría con y = x.

Explicación

Operaciones

Si f y g están definidas en un mismo x, (f + g)(x) = f(x) + g(x) y (f · g)(x) = f(x) · g(x). No hace falta una fórmula nueva: se evalúa cada una y se opera.

Composición

(f ∘ g)(x) = f(g(x)): primero g, después f. (g ∘ f)(x) = g(f(x)): al revés. El orden es parte de la operación. En general no conmuta.

Inversa

f⁻¹ deshace f. Si f(x) = 2x + 1, se despeja: y = 2x + 1, y − 1 = 2x, x = (y − 1)/2. Cambiando el nombre de la variable, f⁻¹(x) = (x − 1)/2. No es 1/f(x): el exponente −1 de la inversa no significa un cociente.

En la gráfica, el punto (a, f(a)) y el punto (f(a), a) son simétricos respecto de la recta y = x. Por eso la gráfica de la inversa es el reflejo de la de f en esa recta.

Glosas de esta lección

f + g y f · g Suma y producto, punto a punto.

f ∘ g Composición: f después de g. Se lee «f círculo g».

f⁻¹ Función inversa. f(f⁻¹(x)) = x y f⁻¹(f(x)) = x donde todo esté definido.

y = x Eje de simetría entre una gráfica y la de su inversa.

Ejemplo 1 · Inversa de f(x) = 2x + 1

1. f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
2. f(f⁻¹(x)) = 2·((x − 1)/2) + 1
   2·((x − 1)/2) + 1 = (x − 1) + 1
   (x − 1) + 1 = x.
3. f⁻¹(f(x)) = ((2x + 1) − 1)/2
   ((2x + 1) − 1)/2 = (2x)/2
   (2x)/2 = x.
4. Número: 2 · 3 = 6
   6 + 1 = 7
   f(3) = 7, y f⁻¹(7) = 7 − 1 = 6
   6 / 2 = 3. Vuelve al 3.
5. El punto (0, 1) está en f, porque f(0) = 1. Su simétrico respecto de y = x es (1, 0), y f⁻¹(1) = 0. El punto (−1, −1) está en las dos y en la recta y = x: f(−1) = −1.

Ejemplo 2 · La composición no conmuta

f(x) = 2x + 1 y g(x) = x².

1. (f ∘ g)(x) = f(x²)
   f(x²) = 2x² + 1.
2. (g ∘ f)(x) = g(2x + 1)
   g(2x + 1) = (2x + 1)²
   (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1.
3. No son la misma expresión: a la segunda le sobran 4x y el 4 del cuadrado no es el 2 de la primera.
4. En x = 2:
   g(2) = 4,f(4)
   4,f(4) = 8 + 1
   8 + 1 = 9. En el otro orden, f(2) = 5, g(5) = 25. 9 ≠ 25.
5. Suma y producto en ese mismo punto: f(2) + g(2) = 5 + 4
   5 + 4 = 9; f(2)·g(2) = 5·4
   5·4 = 20. Con la fórmula,
   2 · 2 = 4
   4 · 2 = 8
   2 · 8 = 16
   2 · 2 = 4
   16 + 4 = 20.

Error típico

Práctica

Mueve a. Verás el punto (a, f(a)) y su simétrico (f(a), a) sobre la inversa. En el editor, calcula (f ∘ g)(1) y (g ∘ f)(1).

Comprueba

Cierre

Sumar y multiplicar funciones es operar sus valores. Componer depende del orden: 9 no es 25. La inversa de 2x + 1 es (x − 1)/2, se comprueba porque devuelve x, y su gráfica es el reflejo en y = x.