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1º Bachillerato Matemáticas I · Ciencias y Tecnología

Lección 31 · Sentido algebraico

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1º Bachillerato Matemáticas I · Ciencias y Tecnología

Saberes (Decreto 40/2022): resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas (sentido algebraico).

Objetivos

Resolver una exponencial con la misma base igualando exponentes.
Usar el cambio y = 2^x en una ecuación de segundo grado en 2^x.
Resolver un logaritmo cuidando el dominio (argumento > 0) y descartar lo que se salga.

Explicación

Misma base

Si a^u = a^v y a > 0, a ≠ 1, entonces u = v. Con base 2, las potencias exactas se reconocen sin calculadora:
2³ = 8
2⁰ = 1
2² = 4.

Cambio de variable

Si solo aparece 2^x y 2^2x = (2^x)², se pone y = 2^x. Como una potencia de 2 es siempre positiva, se exige y > 0. Se resuelve la cuadrática y se vuelve a la base.

Logaritmo

log₂(A) + log₂(B) = log₂(A·B) solo cuando A > 0 y B > 0. Esa condición se escribe antes de operar. Si al final un candidato la incumple, se descarta aunque haya salido de la ecuación cuadrática.

Glosas de esta lección

2^x Exponencial de base 2. Siempre es positiva. 2^x+1 = 2·2^x.

y = 2^x Cambio de variable. 2^2x pasa a ser y².

log₂ Logaritmo en base 2: log₂(2^k) = k. El argumento tiene que ser > 0.

Dominio Conjunto de x donde la ecuación está definida, antes de despejar.

Ejemplo 1 · Misma base

2^x+1 = 8.

8 = 2³, así que 2^x+1 = 2³.
x + 1 = 3, x = 2.
Comprueba: 2²⁺¹ = 2³
2³ = 8.

Ejemplo 2 · Cuadrática en 2^x

2^2x − 5·2^x + 4 = 0.

y = 2^x > 0. La ecuación queda y² − 5y + 4 = 0.
(y − 1)(y − 4) = y² − 5y + 4, porque −1 − 4 = −5 y (−1)·(−4) = 4.
y = 1 o y = 4. Las dos son positivas: no se descarta ninguna por el signo.
2^x = 1
1 = 2⁰ da x
2⁰ da x = 0.2^x = 4
4 = 2² da x
2² da x = 2.
x = 0:
2⁰ = 1
2⁰ = 1
5 · 1 = 5
1 − 5 = −4
−4 + 4 = 0
1 − 5 = −4
−4 + 4 = 0. x = 2:
2 · 2 = 4
4 · 2 = 8
8 · 2 = 16
2 · 2 = 4
5 · 4 = 20
16 − 20 = −4
−4 + 4 = 0
16 − 20 = −4
−4 + 4 = 0.

Ejemplo 3 · Logaritmo y una solución fuera del dominio

log₂(x + 2) + log₂(x) = 3.

Dominio: x > 0 y x + 2 > 0. Con x > 0 basta, porque entonces x + 2 > 2 > 0.
log₂(x(x + 2)) = 3, así que x(x + 2) = 2³ = 8.
x² + 2x − 8 = 0.(x + 4)(x − 2) = x² + (4 − 2)x + 4·(−2)
x² + (4 − 2)x + 4·(−2) = x² + 2x − 8.
x = 2 o x = −4. x = −4 no cumple x > 0: se descarta. log₂(−2) no existe.
x = 2:
log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1
2 + 1 = 3. Solución única.

Error típico

Igualar las bases sin igualar los exponentes (dejar x + 1 = 8), o aceptar x = −4 en el logaritmo porque «salió de la cuadrática».

Corrección: 2^x+1 = 2³ obliga a x + 1 = 3, no a x + 1 = 8. Y el dominio se mira al principio: x = −4 hace negativo el argumento. Solo x = 2 cumple 2 + 1 = 3.

Práctica

La figura marca y = 1 e y = 4, las dos soluciones del cambio de variable, y la raíz logarítmica que no vale. Escribe las comprobaciones.

Comprueba

Comprueba · 2³ = 8

Por qué: x = 2 da el exponente 2 + 1 = 3, y 2³ = 8. Se igualan los exponentes porque las dos potencias tienen la misma base, mayor que 0 y distinta de 1: si 2^x+1 = 2³, entonces x + 1 = 3. No se iguala el exponente con el 8, que es el valor de la potencia, no el exponente. La comprobación cierra el motivo: misma base, mismo exponente, y 2³ vuelve a ser 8.

Comprueba · x = 0 y x = 2 en la cuadrática

Por qué: 1 − 5 = −4
−4 + 4 = 0 y 16 − 20 = −4
−4 + 4 = 0. Las dos y son potencias de 2: 2⁰ = 1 y 2² = 4. El cambio y = 2^x se hace porque en la ecuación solo aparece 2^x y su cuadrado, y una potencia de 2 siempre es positiva, así que y = 1 e y = 4 se aceptan. Cada y vuelve a un exponente: x = 0 y x = 2. Sustituir esas x en la ecuación original es el motivo de la cuenta: confirma que el cambio no ha inventado raíces.

Comprueba · el logaritmo en x = 2

Por qué: log₂(4) = 2 y log₂(2) = 1; 2 + 1 = 3. x = −4 deja el argumento negativo y no pertenece al dominio.

Cierre

Misma base: se igualan exponentes. Una cuadrática en 2^x se baja con y = 2^x > 0. En los logaritmos el dominio va primero y puede eliminar una raíz.

Reto

Otra potencia exacta

Resuelve 2^x = 32 escribiendo 32 como potencia de 2, y comprueba el resultado. Di por qué y = −1 no podría salir de un cambio y = 2^x.

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