Derivadas elementales: reglas y cadena sencilla

Objetivos

• Derivar potencias, seno, coseno, exponencial y logaritmo neperiano.
• Usar las reglas de la constante, la suma, el producto y el cociente.
• Aplicar la cadena en sen(2x), e^3x y ln(x² + 1).

Explicación

Funciones básicas

• (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹.
• (sen x)′ = cos x. En x = 0, cos 0 = 1.
• (cos x)′ = −sen x.
  En x = 0
  −sen 0 = 0.
• (e^x)′ = e^x. En x = 0, e⁰ = 1, y la derivada también vale 1.
• (ln x)′ = 1/x, para x > 0. En x = 2, la derivada vale 1/2.

sen es el seno y ln el logaritmo neperiano. La prima ′ indica derivar. El signo menos de la derivada del coseno no se puede omitir.

Constante, suma, producto y cociente

• Si c es constante, c′ = 0.
• (f + g)′ = f′ + g′.
• (f g)′ = f′ g + f g′.
• (f / g)′ = (f′ g − f g′) / g², si g ≠ 0.

Cadena sencilla

Si dentro hay otra función, se multiplica por la derivada de dentro.

• (sen(2x))′ = cos(2x) · 2. En x = 0:
  cos 0 · 2 = 1 · 2
  1 · 2 = 2.
• (e^3x)′ = e^3x · 3. En x = 0:
  e⁰ · 3 = 3.
• (ln(x² + 1))′ = 1/(x² + 1) · 2x
  1/(x² + 1) · 2x = 2x / (x² + 1).En x = 1:
  2 · 1 = 2
  1 + 1 = 2
  2 / 2 = 2/2
  2/2 = 1.

Cociente de repaso: ((x² + 1)/x)′. Con la regla, numerador 2x·x − (x² + 1)·1 = 2x² − x² − 1 = x² − 1, y se divide entre x². Queda (x² − 1)/x².En x = 2:
4 − 1 = 3
3 / 4 = 3/4. Por el otro camino, (x² + 1)/x = x + 1/x y su derivada es 1 − 1/x², que en x = 2 también es 1 − 1/4 = 3/4.

Ejemplo 1 · Potencia, suma y constante

f(x) = x⁴ − 3x + 7.

1. (x⁴)′ = 4x³.
2. (−3x)′ = −3.
3. 7′ = 0.
4. Suma: f′(x) = 4x³ − 3.

En x = 1: 1 − 3 = −2
−2 + 7 = 5
f(1) = 5 y f′(1) =1 · 1 = 1
1 · 1 = 1
4 · 1 = 4
4 − 3 = 1. La tangente es y − 5 = 1·(x − 1), es decir y = x + 4. En x = 1 recuperas y = 5.

Ejemplo 2 · Producto, por dos caminos

p(x) = x² (x + 3).

1. Regla del producto: (2x)(x + 3) + (x²)(1) = 2x² + 6x + x²
   2x² + 6x + x² = 3x² + 6x.
2. Desarrollando antes: x³ + 3x², y su derivada es 3x² + 6x. Coincide.
3. En x = 2:
   3 · 4 = 12
   6 · 2 = 12
   12 + 12 = 24
   12 + 12 = 24. Por el producto sin juntar: 2 · 2 = 4
   2 + 3 = 5
   4 · 5 = 20
   4 · 1 = 4
   20 + 4 = 24.

Error típico

Derivar sen(2x) como si el 2 no estuviera: queda cos(2x), y en x = 0 eso vale 1. La cadena obliga a multiplicar por 2, y en x = 0 sale 2, no 1. El mismo olvido en e^3x dejaría e⁰ = 1 en vez de 3.

Figura

En x = 1, f(x) = x⁴ − 3x + 7 vale 5 y la tangente tiene pendiente 1: sube una unidad de y por cada unidad de x.

Por qué funciona

Resolución

Escribe el razonamiento completo. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página.

Cierre

Potencia, seno, coseno, e^x y ln, más constante, suma, producto, cociente y una cadena corta. En los números de la lección: f′(1) = 1, el producto en 2 vale 24, sen(2x) en 0 vale 2, e^3x en 0 vale 3 y ln(x² + 1) en 1 vale 1.