El producto escalar es la otra operación del sentido numérico con vectores, junto a la suma. Hay dos expresiones y tienen que dar lo mismo. Si no dan lo mismo, hay un error de cuenta, no «dos escalares distintos».
En el plano, u · v = u1 v1 + u2 v2. Se multiplican las componentes del mismo eje y se suman esos productos. El resultado es un número real. No se deja escrito como una pareja.
Si θ es el ángulo entre los dos vectores, u · v = |u| |v| cos θ. El módulo |u| = √(u12 + u22) es la longitud, siempre ≥ 0. De aquí se despeja el coseno cuando los dos vectores no son nulos: cos θ = (u · v) / (|u| |v|).
cos 90° = 0, así que u · v = 0 si y solo si el ángulo es recto, siempre que ninguno de los dos sea el vector cero. Si uno es cero, el producto también es 0, pero no hay ángulo que medir. cos 60° = 1/2, exacto, no un decimal. Si el cociente anterior sale 1/2 y el ángulo que forman es agudo, el ángulo es 60°.
Resultado: el producto es 0 y el ángulo es 90°.
Resultado: el producto es 8, el coseno es 1/2 y el ángulo es 60°. La otra vía, |u| |v| cos 60° = 4 · 4 = 16
1 / 2 = 1/2
16 · 1 = 16
16 / 2 = 8, coincide.
Se escribe el producto escalar como un vector, por ejemplo (3 · 1, 1 · (−3)) = (3, −3). Eso es multiplicar componente a componente y dejar la pareja. El escalar suma esos dos números: 3 + (−3) = 0. El resultado no tiene flecha.
Otro descuido: decir que hay perpendicularidad en cuanto el producto es 0, incluso si uno de los vectores es (0, 0). El cero es ortogonal a todos en el sentido del producto, pero no forma un ángulo. La frase «perpendiculares» pide dos direcciones.
A la izquierda, (3, 1) y (1, −3) forman la escuadra porque su escalar es 0. A la derecha, (4, 0) va sobre el eje y (2, 2√3) sube con pendiente (2√3)/2 = √3, que es la pendiente de 60°.
Escala de la derecha: 40 px por unidad. (2, 2√3) acaba 80 px a la derecha y 80√3 px arriba. Con √3 ≈ 1,732 el dibujo usa 138,6 px de subida: 170 − 138,6 = 31,4. La cuenta del ángulo no usa ese decimal: usa el coseno exacto 1/2.
En la vida real
Cuando una fuerza y un desplazamiento forman 90°, el producto escalar es 0: en el modelo sencillo del trabajo, esa fuerza no aporta a lo largo del desplazamiento. Si el ángulo es 60°, entra el factor 1/2. La lección no calcula un trabajo con datos de laboratorio; solo fija que el ángulo decide el factor.
u está fijo en (4, 0). Mueve v₁ y v₂. La figura redibuja v y dice el producto. Busca un v que deje el producto en 0 y anota en la caja el ejemplo de 60°: (4, 0) · (2, 2√3) = 8.
Clave local: bach1-mates-i-L05. No se envía a ningún sitio.
Respuesta:
1 · 2 = 2
2 · (−1) = −2
2 + −2 = 0. Son perpendiculares.
Por qué: el escalar es cero y ninguno de los dos vectores es el cero, luego el ángulo es recto.
Respuesta: 1/2, y el ángulo es 60°.
Por qué: el producto es 8, cada módulo es 4, y 8 / 16 = 1/2, que es el coseno exacto de 60°.
Respuesta: 6. El ángulo es 0°.
Por qué: 2 · 3 = 6
0 · 0 = 0
6 + 0 = 6. Además |u| |v| cos 0° 2 · 3 = 6
6 · 1 = 6. Apuntan en el mismo sentido sobre el eje horizontal.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
El escalar es un número: suma de productos de componentes, o producto de módulos por el coseno. Cero, con vectores no nulos, significa 90°. Coseno 1/2 significa 60°. Las dos fórmulas tienen que coincidir.
Busca otro par de vectores de componentes enteras, distintos de los de la lección, cuyo producto escalar sea 0. Escribe los módulos al cuadrado para no dejar una raíz sin cerrar, y comprueba que no has usado el vector cero.
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