1º Bach Matemáticas Generales · CyL Decreto 40/2022 · D.2 Racionales, a trozos y periódicas
Objetivos
Evaluar 1/x y reconocer la asíntota en x = 0.
Aplicar la pieza correcta de una función a trozos.
Reconocer un periodo en un ejemplo numérico sencillo.
Tres maneras de no ser una recta
Una racional sencilla como 1/x no está definida en 0: no se puede dividir entre cero. Cuando x se acerca a 0 por la derecha, 1/x se hace muy grande. Cuando x crece, 1/x se acerca a 0 sin llegar a tocar el eje. Eso es lo que hace la curva ámbar de la izquierda, con los dos puntos del ejemplo marcados.
1/2 = 0,5 y 1/4 = 0,25 · asíntota vertical en x = 0 · función a trozos = regla distinta según el intervalo · en este ejemplo el cambio de regla está en x = 2 · periodo = longitud que se repite, como en y = sen, aquí lo vemos con una lista
La función a trozos de la derecha no es 1/x. Hay que leer la condición antes de sustituir. Si x = 0, como 0 es menor que 2, se usa x+1 y sale 1. Si x = 4, como 4 no es menor que 2, se usa 5−x y sale 1. Si x = 2, la segunda pieza incluye el igual y da 5−2 = 3; la primera, llegada por la izquierda, da 2+1 = 3. Coinciden, así que no hay salto.
Una función periódica repite valores cada cierto intervalo. La lista 1, 0, −1, 0 y otra vez 1, 0, −1, 0 tiene periodo 4: el término 5 coincide con el 1. No hace falta la fórmula del seno para ver el patrón y comprobarlo en tres posiciones.
x
1/x
trozo
2
1/2
3, por la pieza 5−x
4
1/4
1, por 5−4
0
no existe
1, por 0+1
1
1
2, por 1+1
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Dos puntos de 1/x
Calcula 1/2 y 1/4 y explica qué pasa si intentas 1/0.
1/2 = 0,5. Es el primer círculo de la curva izquierda, x = 2.Glosa: la altura es menor que 1 porque el denominador es mayor que 1.
1/4 = 0,25. Al doblar x de 2 a 4, la altura pasa de 1/2 a la mitad.Glosa: es la propiedad 1/(2a) = (1/a)/2, visible en los dos círculos.
1/0 no es un número. La función no tiene punto en x = 0; la curva se va hacia arriba al acercarse al eje.Glosa: no pongas infinito como si fuera un valor de la función. Di que no está definida.
Comprueba un tercer punto,1 : 1 = 1
1 / 1 = 1
x = 1, más alto que 0,5, como corresponde a estar más cerca del eje.Glosa: el orden de las alturas 1 > 1/2 > 1/4 sigue al orden inverso de los denominadores.
Ejemplo resuelto 2 — Elegir el trozo
Para g(x) = x+1 si x es menor que 2, y g(x) = 5−x si x es mayor o igual que 2, calcula g(0), g(2) y g(4).
x = 0 es menor que 2: g(0) = 0+1 = 1. No uses 5−0.Glosa: la condición se mira antes de la fórmula. Elegir la pieza equivocada es el error típico.
x = 2 cumple el igual de la segunda pieza: g(2) = 5−2 = 3. El círculo ámbar de la derecha está ahí.Glosa: la primera pieza no incluye el 2. Aun así, por la izquierda también saldría 3.
x = 4 usa 5−x: g(4) = 1. La rama verde baja desde (2, 3) hacia la derecha.Glosa: de 2 a 4 la expresión 5−x baja 2 unidades, de 3 a 1.
Comprueba la unión: límite por la izquierda en 2 es 3, y el valor es 3. No hay salto que dibujar.Glosa: si las dos piezas no coincidieran, habría un círculo relleno y otro hueco. Aquí no.
Ejemplo resuelto 3 — Periodo 4
La lista de una señal repite 1, 0, −1, 0. Comprueba que el lugar 5, el 6 y el 7 coinciden con el 1, el 2 y el 3.
Lugares: 1→1, 2→0, 3→−1, 4→0, y el 5 vuelve a 1.Glosa: periodo 4 significa que avanzas 4 posiciones y el valor se repite.
Lugar 6 = lugar 2 = 0. Lugar 7 = lugar 3 = −1.Glosa: restar el periodo las veces que haga falta: 6−4 = 2 y 7−4 = 3.
Lugar 8 = lugar 4 = 0, y el 9 otra vez 1. El bloque 1, 0, −1, 0 se copia.Glosa: no es una sucesión aritmética; el salto no es constante y no debes usar 4n−1.
Comprobación de tres sitios, como pide el hábito de la lección anterior: 5, 6 y 7 casan con 1, 2 y 3.Glosa: si el lugar 6 no hubiera sido 0, el periodo no sería 4.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Otro punto de la hipérbola
Calcula 1/x en x = 5 y en x = −2. Di qué cambia con el signo.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
1/5 = 0,2, más pequeña que 1/4, así que la rama derecha sigue bajando hacia el eje. 1/(−2) = −0,5: el signo del resultado es el signo de x, porque el numerador es positivo. El punto (−2, −0,5) está en la otra rama, la que el gráfico de la izquierda no ha dibujado para no mezclarla con los trozos. El paso es no aplicar una pieza de g a la pregunta sobre 1/x: son funciones distintas, separadas en el SVG.
2. Trozo mal elegido
Alguien calcula g(1) = 5−1 = 4. ¿Qué condición ha ignorado y cuál es el valor?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
x = 1 es menor que 2, luego toca la primera pieza: g(1) = 1+1
1+1 = 2, no 4. Ha usado 5−x fuera de su intervalo. El paso es subrayar la condición y tachar la otra fórmula antes de operar. En el gráfico, x = 1 cae en el tramo ámbar de la derecha, que sube hacia (2, 3), y la altura 2 está en esa subida. El 4 ni siquiera está en la imagen de los puntos que hemos calculado (1, 3 y 1).
3. ¿Hay salto si cambio el igual?
Define h igual que g pero con la segunda pieza solo cuando x es mayor que 2, y en x = 2 pon h(2) = 0. ¿Sigue siendo continua la gráfica?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Ahora h(2) = 0, mientras que al acercarte por la izquierda con x+1 llegas a 3, y por la derecha con 5−x también llegas a 3. El valor 0 queda aislado: hay un salto, o mejor un punto descolgado, en x = 2. El paso es comparar el valor que impones con el de las dos piezas vecinas. En g coincidían y el círculo ámbar está pegado a las dos ramas; en h habría que dibujar el punto (2, 0) separado. La continuidad no es automática por escribir dos fórmulas: depende de que en la frontera den lo mismo.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Cuánto vale 1/x en x = 2 y en x = 4?
1/2 y 1/4. Por qué: son los dos círculos de la curva izquierda. Doblar el denominador parte la altura. En x = 0 la expresión no tiene valor, porque no se divide entre cero.
¿Qué pieza se usa en x = 4 para la función de la derecha?
La segunda, 5−x, y da 1. Por qué: 4 no es menor que 2, así que la regla x+1 no se aplica. En x = 2, que es la frontera, la pieza con el igual da 3 y coincide con llegar por la izquierda.
¿Qué significa periodo 4 en la lista 1, 0, −1, 0?
Que cada 4 lugares el valor se repite. Por qué: el lugar 5 vale lo mismo que el 1, el 6 lo mismo que el 2 y el 7 lo mismo que el 3. No es un salto constante, así que no se modela con una afín.
Reto Profesor
Dos reglas
Inventa una función a trozos con cambio en x = 1, calcúlala en −1, 1 y 3, y dibújala en el lienzo junto a un esquema de 1/x.