Distinguir puntos porcentuales de variación relativa.
Leer el documento antes de operar
Una factura, una nómina o una noticia no son «un número suelto». Cada cifra tiene un papel: unas son datos de partida, otras son porcentajes aplicados a una base concreta, y el total es el resultado de una suma o de una resta, nunca un adorno.
base imponible = importe antes de impuestos · tipo de IVA = porcentaje legal que se aplica a esa base · bruto = sueldo antes de retenciones · neto = lo que queda tras restar IRPF y cotización
En el taller de Valladolid del gráfico, la mano de obra (2 horas a 35 euros) y la pieza (25 euros) se suman primero. Solo entonces se calcula el 21 % de IVA. Si aplicas el 21 % al total ya inflado, o lo sumas dos veces, el documento deja de cuadrar con el banco.
En la nómina el mismo cuidado: el 15 % de IRPF y el 6,35 % de Seguridad Social se calculan sobre el bruto, y se restan. En la noticia, pasar del 12 % al 9 % de paro son 3 puntos porcentuales; la variación relativa respecto al valor inicial es otra cuenta, (9 − 12) / 12.
Documento
Operación que manda
Trampa
Factura
IVA = tipo × base; total = base + IVA
Calcular el IVA sobre el total
Nómina
neto = bruto − IRPF − cotización
Tomar el bruto como ingreso
Noticia
variación relativa = (final − inicial) / inicial
Llamar porcentaje a una resta de porcentajes
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Factura del taller
Mano de obra: 2 horas a 35 €/h. Pieza: 25 €. IVA general del 21 %. Halla base, IVA y total, y comprueba que el total no es 95 × 1,21 dos veces.
Suma las líneas anteriores al impuesto: 2 × 35 = 70, y 70 + 25 = 95. Esa suma es la base imponible.Glosa: la base se cierra antes de mencionar el IVA; 70 y 25 son importes sin impuesto.
Aplica el tipo solo a la base: 0,21 × 95. Primero 0,20 × 95 = 19 y 0,01 × 95 = 0,95, luego 19 + 0,95 = 19,95 €.Glosa: 0,21 es el tanto por uno del 21 %; el porcentaje no se suma a la base como si fuera 21 euros.
El total a pagar es base más IVA: 95 + 19,95 = 114,95 €. Coincide con la última fila del gráfico.Glosa: multiplicar la base por 1,21 da el mismo total (95 × 1,21 = 114,95) y no hay que volver a multiplicar.
Comprobación por exceso: si alguien hace 0,21 × 114,95 obtiene unos 24 € de «IVA» y un total absurdo. Ese paso usa la magnitud equivocada.Glosa: el tipo siempre se refiere a la base escrita en la factura, no al total ya con impuesto.
Ejemplo resuelto 2 — Nómina de 1 800 €
Bruto mensual 1 800 €. Retención de IRPF del 15 % y cotización del trabajador del 6,35 %. Calcula cada descuento y el neto.
IRPF: 0,15 × 1 800 = 270 €. La retención sale del bruto, no de una estimación «a ojo» de lo que queda.Glosa: 15 % = 15/100
15/100 = 0,15; 0,15 × 1 800 = 270 exactamente.
Cotización: 0,0635 × 1 800. Haz 0,06 × 1 800 = 108 y 0,0035 × 1 800 = 6,30; suma 114,30 €.Glosa: 6,35 % no es 6,35 euros; es 6,35 euros por cada 100 euros de bruto.
Neto = 1 800 − 270 − 114,30 = 1 415,70 €. Resta por separado para ver qué concepto pesa más.Glosa: el IRPF (270) es mayor que la cotización (114,30); el neto no es el bruto menos solo uno de los dos.
Comprueba el orden: 1 800 − 270 = 1 530 y 1 530 − 114,30 = 1 415,70. Si sumas los descuentos primero, 270 + 114,30 = 384,30 y 1 800 − 384,30 da lo mismo.Glosa: las dos restas son conmutativas en el resultado, pero cada descuento debe identificarse en la nómina.
Ejemplo resuelto 3 — Del 12 % al 9 % no es un 3 %
Una noticia dice que el paro de la comarca pasa del 12 % al 9 % y titula «baja un 3 %». Explica el error y calcula la variación relativa.
La resta 12 − 9 = 3 mide puntos porcentuales, no un porcentaje de variación. El titular mezcla las dos unidades.Glosa: un punto porcentual es la diferencia directa entre dos porcentajes; no lleva división.
La variación relativa usa el valor inicial como base: 9 − 12 = −3
(−3) / 12 = −0,25.Glosa: el signo menos indica bajada; la base de la división es 12, el dato de partida, no 9 ni 3.
Pasa a porcentaje: −0,25 = −25 %. Respecto del 12 % inicial, el paro ha bajado un 25 %, no un 3 %.Glosa: multiplicar el tanto por uno por 100 cambia la forma de escribirlo, no la magnitud.
Comprobación con personas: si había 12 parados por cada 100 activos y pasan a 9, se han ido 3 de esos 12, y 3/12 = 1/4.Glosa: el modelo «de cada 100» hace visible por qué la base es el dato antiguo.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Ticket con IVA incluido
Un ticket muestra solo el total, 60,50 €, «IVA incluido» al 21 %. Recupera la base y el IVA por separado.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso que ordena el problema es deshacer el factor 1,21, no restar 21 % del total. Si el total ya lleva el impuesto, base × 1,21 = 60,50, así que la base es 60,50 / 1,21 = 50 €. El IVA es la diferencia 60,50 − 50 = 10,50 €, que coincide con 0,21 × 50. Restar 0,21 × 60,50 ≈ 12,71 € sería tratar el total como si fuera base y dejaría una factura que no cierra.
2. Otra nómina
Bruto 2 200 €, IRPF 18 % y cotización 6,35 %. Halla neto y di qué descuento es mayor.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Calcula cada porcentaje sobre el mismo bruto antes de restar. IRPF: 0,18 × 2 200 = 396 €. Cotización: 0,0635 × 2 200 = 139,70 €. El IRPF es mayor. Neto = 2 200 − 396 − 139,70 = 1 664,30 €. El error típico es aplicar el 18 % al neto o encadenar el segundo porcentaje sobre lo que queda después del primero: la nómina española habitual aplica ambos tipos al bruto.
3. Titular deportivo
Los socios de un club pasan de 400 a 500. Un cartel dice «suben un 100 %» y otro «suben 100 personas». ¿Cuál es la variación relativa correcta?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
La variación absoluta es 500 − 400 = 100 personas. La relativa es 100 / 400 = 0,25 = 25 %, no 100 %. El cartel del 100 % ha dividido el aumento entre algo que no es el valor inicial, o ha confundido «100 personas» con «100 %». Comprueba al revés: el 25 % de 400 es 100, y 400 + 100 = 500. Esa comprobación cierra el paso.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Sobre qué cantidad se calcula el 21 % de IVA de la factura del gráfico?
Sobre la base de 95 €, no sobre 114,95 €. Por qué: el tipo legal se aplica al importe antes de impuesto. 0,21 × 95 = 19,95, y solo después se suma para obtener el total. Usar el total como base contaría impuesto sobre impuesto.
En la nómina de 1 800 €, ¿por qué el neto no es 1 800 − 15 − 6,35?
Porque 15 y 6,35 son porcentajes, no euros. Por qué: hay que convertirlos en tanto por uno y multiplicar por el bruto: 270 € y 114,30 €. Restar los números del porcentaje como si fueran euros deja casi todo el bruto intacto y no describe ninguna nómina real.
Bajar del 12 % al 9 %: ¿cuánto es la variación relativa?
Es −25 %, no −3 %. Por qué: 3 son los puntos porcentuales (resta directa). La variación relativa divide esa resta entre el valor inicial: −3/12 = −0,25. Sin esa división se cambia de unidad y el titular exagera poco o mucho según el caso.
Reto Profesor
Documento de casa
Trae una factura o un ticket (puedes tapar el nombre). Escribe base, tipo, impuesto y total, y señala una cifra que alguien podría leer mal. Si no tienes documento, inventa uno coherente y comprueba que cierra.