Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato

Lección 27 · D.1 · Una variable

Variable unidimensional: resumir e interpretar

1º Bach CCSS · CyL Decreto 40/2022 · D.1 Organización y análisis de datos

Objetivos

Tipos y medidas

Cualitativa nominal: el distrito, sin orden. Cualitativa ordinal: el nivel de acuerdo, con orden y sin distancia fija. Cuantitativa discreta: número de hermanos. Cuantitativa continua: horas, que en la práctica se registran redondeadas pero pueden tomar cualquier valor de un intervalo.

Tratamos el grupo observado como la población que describimos y dividimos por n, no por n − 1. No estamos estimando una varianza de una población mayor: estamos midiendo la dispersión de estos datos.

x̄ = (Σ xᵢ) / n

xᵢ es cada dato; n es cuántos hay; x̄ es la media aritmética del grupo, un valor por individuo solo si todos fueran iguales.

σ² = Σ (xᵢ − x̄)² / n ,   σ = √σ² ,   recorrido = máximo − mínimo.

σ² es la varianza de esta distribución; σ es la desviación típica, en las mismas unidades que x; el recorrido solo mira los dos extremos e ignora el resto.
Barras de las horas de estudio: 2 una vez, 3 dos veces, 4 una, 5 tres, 9 una 2 3 4 5 9

Ejemplo 1. Ocho estudiantes, horas de estudio

Datos ya ordenados: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 9. n = 8.

  1. Suma: 2 + 3 = 5
    5 + 3 = 8
    8 + 4 = 12
    12 + 5 = 17
    17 + 5 = 22
    22 + 5 = 27
    27 + 9 = 36. Media x̄ = 36/8 = 4,5 horas.
  2. Mediana: con n par, media de los puestos 4.º y 5.º, que son 4 y 5. Mediana = 4,5.
  3. Moda: 5, que aparece tres veces. Es el único valor modal.
  4. Recorrido: 9 − 2 = 7 horas.
  5. Desviaciones respecto de 4,5: −2,5, −1,5, −1,5, −0,5, 0,5, 0,5, 0,5, 4,5. Cuadrados: 6,25; 2,25; 2,25; 0,25; 0,25; 0,25; 0,25; 20,25. Suma de cuadrados = 32.
  6. σ² = 32/8 = 4. σ = 2 horas.

La media 4,5 no es el expediente de nadie en particular: es el reparto igualado del total de 36 horas. La moda 5 dice qué horario se repite. El estudiante de 9 horas está a 9 − 4,5 = 4,5
4,5 / 2 = 2,25 desviaciones típicas por encima de la media: tira de la suma de cuadrados (aporta 20,25 de los 32) y por eso la dispersión no es pequeña aunque cinco de los ocho datos estén entre 3 y 5.

σ² = 32/8 = 4.

32 es la suma de los ocho cuadrados de las desviaciones; 8 es n; 4 es la varianza en horas al cuadrado; la desviación típica es √4 = 2 horas.

Ejemplo 2. Dos grupos, media en tierra de nadie

Datos: 3, 3, 3, 6, 6, 6. n = 6. Suma 27. Media 27/6 = 4,5.

  1. Ordenados, puestos 3.º y 4.º: 3 y 6. Mediana 3 + 6 = 9
    9 / 2 = 4,5.
  2. Dos modas: 3 y 6, cada una con frecuencia 3. Distribución bimodal.
  3. Recorrido 6 − 3 = 3.
  4. Cada dato dista 1,5 de la media. Cuadrado 2,25. Seis veces: 13,5. σ² = 13,5/6 = 2,25. σ = 1,5.

Nadie del grupo estudia 4,5 horas, y sin embargo media y mediana valen 4,5. Leer solo la media esconde que hay dos bloques. El individuo de la distribución no es «una persona de 4,5»: no existe en la lista.

Ejercicios

1. Sin dispersión

Datos: 4, 4, 4, 4. Calcula media, mediana, moda, recorrido y varianza. Interpreta.

Corrección
  1. Suma 16, n = 4, media 4.
  2. Mediana 4. Moda 4.
  3. Recorrido 0. Todas las desviaciones son 0, varianza 0, desviación típica 0.
  4. Distribución e individuos coinciden: los cuatro valen lo mismo.

Varianza 0 no es un fallo de la fórmula. Es la descripción correcta de un grupo sin diferencias. Cualquier individuo representa aquí a la distribución entera.

2. La media se va

Datos: 1, 2, 9. Calcula media y mediana. ¿Cuál describe mejor a un valor típico del grupo?

Corrección
  1. Suma 12, media 12/3 = 4.
  2. Ordenados, el puesto central es el 2.º: mediana 2.
  3. No hay moda: los tres valores aparecen una vez.
  4. Dos de los tres datos son 1 y 2. La media 4 queda por encima de ambos porque 9 tira de la suma. Para «un valor típico», la mediana 2 engaña menos.

Con n = 3 la media no está obligada a parecerse a la mayoría. 4 no es ninguno de los datos. Decir que el grupo «está en 4» borra que dos observaciones son pequeñas y una es extrema.

3. Dos bloques pequeños

Datos: 6, 6, 9, 9. Calcula media, mediana, moda y desviación típica.

Corrección
  1. Suma 30, n = 4, media 7,5.
  2. Puestos 2.º y 3.º: 6 y 9. Mediana 6 + 9 = 15
    15 / 2 = 7,5.
  3. Dos modas, 6 y 9.
  4. Desviaciones ±1,5. Cuadrado 2,25, cuatro veces, suma 9. σ² = 9/4 = 2,25. σ = 1,5.

Otra vez la media 7,5 cae entre los dos bloques y no es un dato. La desviación típica 1,5 es exactamente la distancia de cada dato a esa media: en un grupo tan simétrico, σ describe a todos por igual.

4. Leer sin calcular de más

En una empresa la media de salarios es 2000 € y la mediana es 1400 €. ¿Qué está pasando? No inventes otro número.

Corrección
  1. La media supera a la mediana.
  2. Eso encaja con una cola alta: pocos salarios muy grandes aumentan la suma y casi no mueven el centro de la lista ordenada.
  3. El salario típico, en el sentido de «la mitad está por debajo», es la mediana, 1400 €.
  4. 2000 € no es lo que cobra una persona representativa del centro.

No hace falta la desviación típica para esta lectura. La diferencia de sentido entre media y mediana ya dice que la distribución no es simétrica y que un extremo alto está empujando la media.

Cierre

Calcula, y en la frase siguiente di qué le ocurre a una persona del grupo. Si la media no coincide con ningún dato, dilo. Si un solo valor se come la suma de cuadrados, dilo también.