Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato

Lección 17 · C.3 · Igualdad

Ecuaciones racionales, exponenciales y logarítmicas

1º Bach CCSS · CyL Decreto 40/2022 · C.3 Igualdad y desigualdad

Objetivos

Tres filtros

Una ecuación racional tiene la incógnita en algún denominador. Ese denominador no puede ser cero. Una ecuación logarítmica exige argumento positivo en cada logaritmo, y la base, si aparece, cumple a > 0 y a ≠ 1. Una exponencial aexpresión con esa misma base está definida en todo ℝ; ahí no se excluye dominio, se comprueba el resultado.

loga(M) = b ⇔ M = ab, con a > 0, a ≠ 1, M > 0.

a es la base; M es el argumento, que ha de ser positivo; b es el exponente al que se eleva a para recuperar M.

loga(M) + loga(N) = loga(M·N), solo si M > 0 y N > 0.

M y N son argumentos de la misma base a. No basta con que el producto sea positivo: si uno de los dos es negativo, la suma de logaritmos no estaba definida.

au = av ⇒ u = v, cuando a > 0 y a ≠ 1.

a es la base común; u y v son los exponentes. Se igualan porque la exponencial de esa base es inyectiva.
Recta real: x = 2 excluido del dominio y x = 3,5 solución válida x = 2 excluido x = 3,5 solución

Ejemplo 1. Racional, con comprobación

Un reparto queda modelado por (x + 1) / (x − 2) = 3.

  1. Dominio: x − 2 ≠ 0, así que x ≠ 2.
  2. Con x ≠ 2 se multiplica por el denominador: x + 1 = 3(x − 2).
  3. x + 1 = 3x − 6 → 7 = 2x → x = 7/2 = 3,5.
  4. 3,5 ≠ 2. Sustitución: 3,5 + 1 = 4,5
    3,5 − 2 = 1,5
    4,5 / 1,5 = 3. Sirve.

(x + 1) / (x − 2) = 3, x ≠ 2.

x es la incógnita del reparto; 2 es el valor prohibido del denominador; 3 es el cociente que fija el enunciado; 1 es el término independiente del numerador.

Ejemplo 2. Logaritmos y una raíz que no existe

Se busca un precio x, en euros, con log(x) + log(x − 3) = log(10). Todos los logaritmos van en la misma base válida; no hace falta nombrar cuál.

  1. Dominio: x > 0 y x − 3 > 0, luego x > 3.
  2. log[x(x − 3)] = log(10). Por inyectividad, x(x − 3) = 10.
  3. x² − 3x − 10 = 0 se factoriza (x − 5)(x + 2) = 0. Candidatas: x = 5 y x = −2.
  4. x = −2 no cumple x > 3. x = 5 sí: log(5) + log(2)
    5 sí: log(5) + log(2) = log(10).

x² − 3x − 10 = 0, y solo vale la raíz con x > 3.

x es el precio; 3 es lo que se resta en el segundo argumento; 10 es el número que queda al quitar el logaritmo de la derecha, no un logaritmo.

log(−2) no es un número real. La raíz negativa no es una solución aproximada: es una candidata inválida.

Ejercicios

1. Racional

Resuelve (x + 4) / (x − 1) = 2.

Corrección
  1. Dominio: x ≠ 1.
  2. x + 4 = 2(x − 1)
    2(x − 1) = 2x − 2.
  3. 4 + 2 = 2x − x, así x = 6.
  4. 6 ≠ 1. Comprobación: (10) / (5) = 2.

Multiplicar por el denominador puede colar una raíz ajena. Aquí la candidata es 6, el denominador vale 5 y la sustitución devuelve exactamente 2.

2. Misma base

Resuelve 5x − 1 = 125.

Corrección
  1. 125 = 5³ y la base 5 es válida.
  2. 5x − 1 = 5³ implica x − 1 = 3.
  3. x = 4.
  4. Comprobación: 53 = 125.

Igualar exponentes solo vale si los dos lados son potencias de la misma base positiva distinta de 1. 125 ya es potencia de 5; no hace falta cambiar a logaritmos.

3. Suma de logaritmos

Resuelve log2(x + 1) + log2(x − 1) = 3.

Corrección
  1. Dominio: x + 1 > 0 y x − 1 > 0, luego x > 1.
  2. log2(x² − 1) = 3, así x² − 1 = 2³ = 8.
  3. x² = 9, candidatas x = 3 y x = −3.
  4. Solo x = 3 cumple x > 1. log2(4) + log2(2) = 2 + 1
    2 + 1 = 3.

x = −3 hace negativos los dos argumentos. Aunque el producto sea positivo, la suma de logaritmos no existía, así que no es solución.

4. La candidata cae fuera

Resuelve (x² − 9) / (x − 3) = 6.

Corrección
  1. Dominio: x ≠ 3.
  2. x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Para x ≠ 3 la ecuación es x + 3 = 6, luego x = 3.
  3. x = 3 está fuera del dominio y no hay otra candidata.
  4. Sustituir x = 3 da 0/0, que no es un número. Solución: conjunto vacío.

Cancelar x − 3 solo es lícito fuera de ese punto. La ecuación simplificada señala justo el punto prohibido, así que no queda ninguna solución.

Cierre

Orden fijo: dominio, transformación, candidatas, filtro y sustitución. Si nadie sobrevive, el conjunto solución está vacío; no se rescata la candidata prohibida.