Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato
Lección 01 · E.1 · Competencias 1 y 2
Método: dato, modelo, cálculo, comprobación
Decreto 40/2022 CyL · primer curso · sentido socioafectivo E.1
Objetivos
Separar dato, modelo, cálculo, comprobación y frase con unidades en un problema cotidiano o de ciencias sociales.
Obtener la solución describiendo el procedimiento, no solo el número final (competencia específica 1, criterios 1.1 y 1.2).
Comprobar la validez matemática de esa solución y descartar la que no encaja en el contexto (competencia específica 2, criterios 2.1 y 2.2).
Localizar un error en un paso concreto y usarlo para recuperar el saber que ya se tenía (sentido E.1), sin convertirlo en un juicio sobre la persona.
Escribir la respuesta con la unidad y el colectivo a los que se refiere.
Qué pide el primer curso
El Decreto 40/2022, en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, evalúa la competencia 1 por el uso de una estrategia y por la obtención de las soluciones describiendo el procedimiento. La competencia 2 pide comprobar la validez matemática y elegir la solución que el contexto admite: sostenibilidad, consumo, equidad u otra restricción del enunciado. El sentido socioafectivo E.1 nombra el error, individual y colectivo, como elemento que moviliza saberes previos y abre aprendizaje. En esta lección eso se traduce en una operación concreta: señalar qué paso falló y qué conocimiento anterior lo corrige. El estrés y la ansiedad ante las matemáticas, y el trabajo en equipo, no caben en un inciso: son la lección 33. Aquí el error se trata solo como un paso del procedimiento. El error es un dato del procedimiento.
Los cinco movimientos
Dato. Un dato es un número con unidad y con referente. «240» no es un dato; «240 personas desempleadas dentro de una población activa de 8 000 personas» sí lo es. Si falta la unidad o el colectivo, se para y se pide, no se inventa.
Modelo. El modelo es la relación que une los datos con la pregunta: un cociente, una suma, una media, un porcentaje. Elegir dividir cuando la pregunta pide una tasa, y no restar, es el modelo. Dos modelos distintos pueden usar los mismos datos y contestar preguntas distintas.
Cálculo. Una operación cada vez, con el resultado intermedio escrito. El cálculo no elige el modelo: lo ejecuta.
Comprobación. La operación inversa, una estimación del orden de magnitud, o la sustitución del resultado en la relación. Una comprobación que no puede fallar no comprueba nada.
Frase con unidades. La frase nombra el colectivo, la unidad y el número ya comprobado. Un 0,15 suelto no responde «¿cuál es la tasa de paro?».
Tasa: el modelo del cociente
Cuando la pregunta compara una parte con un total del mismo tipo, el modelo es un cociente. El porcentaje es ese cociente escrito por cada cien, no una operación distinta.
tasa = parte / total
En el problema de paro de esta lección, parte son las 1 200 personas desempleadas, total son las 8 000 personas de la población activa, y tasa es el cociente 0,15. Multiplicar 0,15 por 100 da 15, que se lee «15 por ciento» solo después de decir de qué colectivo.
La comprobación es la inversa: tasa × total tiene que devolver la parte. Si no vuelve, o el cociente está mal o se han cruzado parte y total. Cruzarlos es un error localizable: se ha usado el modelo del revés. El saber previo es que la parte no puede superar al total cuando la parte está contenida en él; una tasa mayor que 1 avisa de ese cruce.
Media: el modelo que cuenta cuántos datos se sumaron
media = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
En el ejemplo de las tres edades, x₁ = 12, x₂ = 15 y x₃ = 18 son los tres datos en años, y n = 3 es el número de sumandos, no un 2 puesto por costumbre. La media sale en años porque cada xᵢ está en años y n no lleva unidad: es un conteo.
Un error frecuente es sumar bien y dividir por otro número. El resultado intermedio de la suma puede ser correcto y la media no. E.1 se aplica así: el error no borra el paso que sí estaba bien; lo aísla y obliga a recuperar qué significa n.
Ejemplo resuelto 1. Tasa de paro
En un municipio, 1 200 personas están desempleadas y la población activa es de 8 000 personas. ¿Cuál es la tasa de paro?
Dato: parte = 1 200 personas desempleadas; total = 8 000 personas activas. Misma unidad, y la parte está dentro del total.
Modelo: tasa = parte / total, porque se pide una proporción de la población activa, no una diferencia.
Comprobación: 0,15 × 8 000 = 1 200. Recupera la parte. Además 0,15 < 1, coherente con «parte contenida en el total». Una estimación rápida: 1 200 es algo más que la décima parte de 8 000 (800), y 0,15 es algo más que 0,10.
Frase: la tasa de paro de esa población activa es del 15 % (0,15, es decir 15 personas desempleadas por cada 100 activas).
0,15 = 1 200 / 8 000
1 200 es la parte (desempleadas), 8 000 es el total (activas) y 0,15 es la tasa. El 15 del porcentaje no es otro dato: es 0,15 escrito por cada cien.
Ejemplo resuelto 2. Un error localizado en la media
Alguien calcula la media de 12, 15 y 18 años así: 12 + 15 = 27
27 + 18 = 45
45 / 2 = 22,5. El resultado se presenta como «22,5 años».
Dato: tres edades, 12, 15 y 18 años. Hay tres sumandos, no dos.
Modelo correcto: media = (suma) / n con n = 3. El modelo usado dividió por 2. Ese es el paso que falla.
La suma 12 + 15 = 27
27 + 18 = 45 está bien. No se repite. El cálculo que hay que rehacer es solo la división: 45 / 3 = 15.
Comprobación: 15 × 3 = 45. Y 15 está entre 12 y 18, como tiene que estar una media de números reales de ese conjunto. 22,5 queda por encima del dato mayor: una media aritmética de esos tres valores no puede superar a 18. Esa comparación es la comprobación que delata el error sin necesidad de rehacerlo todo.
Frase: la media de esas tres edades es 15 años. El 22,5 no es una solución válida.
Lo que el error moviliza: quien dividió por 2 ya sabía sumar esos tres números. El fallo no dice «no sabe medias»; dice que n se sustituyó por un 2 que no cuenta los datos. En un grupo, señalar el paso —«la suma vale, el divisor no»— es el tratamiento colectivo del error que pide E.1, y deja el procedimiento mejorado para el siguiente problema.
12 + 15 = 27
27 + 18 = 45
45 / 3 = 15
15 = 15
12, 15 y 18 son las tres edades en años; el 3 del denominador es n, el número de edades sumadas; 15 es la media en años. El 2 que apareció en el intento fallido no es una letra del modelo: sobraba.
Escribe el razonamiento
Antes de abrir la corrección, deja aquí los cinco movimientos de un ejercicio. Si un paso no te sale, escribe qué dato te falta o qué operación inversa usarías.
Ejercicios
1. Hogares sin coche
De 250 hogares, 40 no tienen coche. Calcula la proporción y el porcentaje. Cierra con una frase que nombre el colectivo.
Corrección
Dato: parte = 40 hogares sin coche; total = 250 hogares.
El 16 % de los 250 hogares no tiene coche. El porcentaje no se obtiene multiplicando 40 × 250: eso contaría otra cosa y daría 10 000, un número mayor que el total, imposible para una parte contenida en él.
2. Coste de fotocopias
El coste en euros de n fotocopias se modela con C = 12 + 3n. Hay un fijo de 12 euros y 3 euros por cada fotocopia. Halla C cuando n = 20 y comprueba despejando n.
Corrección
Dato: n = 20 fotocopias; fijo = 12 euros; precio unitario = 3 euros por fotocopia.
Modelo: C = 12 + 3n, en euros.
Cálculo: 3 × 20 = 60; C = 12 + 60
12 + 60 = 72.
Comprobación inversa: 72 − 12 = 60
60 / 3 = 20, que es el n de partida.
Veinte fotocopias cuestan 72 euros. Restar el fijo antes de dividir es obligatorio: si se divide 72 / 3 = 24 se obtiene un número de copias que no es el del enunciado, porque se ha tratado el fijo como si también fuera variable.
3. Localiza el error del 15 %
Alguien afirma que el 15 % de 80 euros es 15 × 80 = 1 200 euros. Di qué paso falla, calcula el valor correcto y compruébalo.
Corrección
El 15 % es el modelo 0,15 × cantidad, o bien (15 / 100) × cantidad. No es 15 × cantidad.
El fallo está en el modelo: se usó 15 en vez de 0,15. La multiplicación 15 × 80 = 1 200 está bien ejecutada sobre un modelo falso.
Comprobación: 12 / 80 = 0,15. Y 12 euros es menor que 80 euros, mientras que 1 200 euros es quince veces el total: no puede ser una parte del 15 %.
El 15 % de 80 euros son 12 euros. El error moviliza un saber previo: «por ciento» ya divide entre 100. Conservar el 15 entero es olvidar esa división, no fallar la tabla del 15.
4. Llegadas tarde
En un grupo de 28 estudiantes, 7 llegan tarde. Escribe los cinco movimientos y la frase final.
Corrección
Dato: 7 estudiantes que llegan tarde, de un grupo de 28.
Comprobación: 0,25 × 28 = 7. También 28 / 4 = 7, así que un cuarto del grupo son exactamente esas 7 personas.
Frase: el 25 % de los 28 estudiantes llega tarde.
Simplificar 7/28 hasta 1/4 antes de pasar al porcentaje evita decimales intermedios y la comprobación es exacta: un cuarto de 28 es 7, no una aproximación.
Cierre
Resolver, en este curso, es dejar escrito el procedimiento hasta una frase con unidades. Comprobar es poder volver atrás con la operación inversa o con una comparación que el resultado falso no supera. El error que se puede señalar en un paso —divisor, tanto por uno, parte y total cruzados— es material de trabajo. El que solo se nombra como «me salió mal» no enseña nada y no cumple E.1.