Ciento veinte julios no son doscientos

Objetivos

• Calcular W = F·Δx·cosα, con el coseno dado en el enunciado, no con un ángulo bautizado a ojo.
• Calcular P = W/Δt, en vatios. 1 W = 1 J/s.
• Calcular el rendimiento como útil partido de consumida, en tanto por uno y en tanto por ciento.
• Estimar, con datos del enunciado, el consumo de un sistema mecánico sencillo.

Letras

• F en newtons, Δx en metros, W en julios. Si la fuerza y el desplazamiento van en el mismo sentido, coseno = 1 y W = F·Δx.
• Si son perpendiculares, coseno = 0 y el trabajo de esa fuerza es cero. El peso no trabaja en un desplazamiento horizontal.
• P = W/Δt. No confundas P de potencia con P de peso: aquí, si digo potencia, es W/Δt.
• Rendimiento η = W_útil / E_consumida. Si da 0,60, es el 60 %. No puede pasar de 1 en este curso: si te sale 1,4, has invertido la fracción.

h es el desnivel, en metros. En la subida el desplazamiento vertical es h. El coseno es el factor que te dan o el que sale de «mismo sentido» (vale 1) o de «perpendicular» (vale 0). No hace falta un ángulo en grados.

Ejemplo

1. Empujas una caja con F = 40 N, horizontal, y avanza Δx = 3,0 m en ese mismo sentido. coseno = 1.
2. W = 40·3,0·1 = 120 J.
3. Tardas Δt = 4,0 s. P = 120/4,0 = 30 W.
4. El motor que te sustituye consume 200 J para entregar esos 120 J útiles. η = 120/200 = 0,60 = 60 %.
5. Los 80 J que no salen como trabajo útil no desaparecen del balance: aquí no los seguimos (calor, rozamiento). El rendimiento solo compara las dos cifras del enunciado.

Segundo ejemplo resuelto

La caja del primer ejemplo iba en horizontal. Esta sube, a velocidad constante, y entra el rendimiento. No es el reto: allí son 10 kg, 2,0 m y rendimiento 0,50.

1. m = 4,0 kg sube h = 2,5 m a velocidad constante. g = 9,8 m/s². Velocidad constante quiere decir que la fuerza neta vertical es cero: la fuerza del cable, hacia arriba, iguala al peso. Peso = 4,0·9,8 = 39,2 N. La fuerza del cable mide 39,2 N.
2. El cable y el desplazamiento van en el mismo sentido, así que el coseno es 1. W útil = 39,2·2,5·1. 39,2·2,0 = 78,4 y 39,2·0,5 = 19,6. 78,4 + 19,6 = 98 J. También es m·g·h = 4,0·9,8·2,5 = 98 J, porque a velocidad constante el trabajo útil contra el peso es el del cable.
3. Tarda Δt = 7,0 s. Potencia = W/Δt = 98/7,0 = 14 W. Cierra al revés: 14·7,0 = 98. Esos 14 W no son el peso: el peso eran 39,2 N. Potencia y peso comparten la letra P en otros textos; aquí, si digo potencia, es julios entre segundos.
4. El motor rinde η = 0,70. Entonces 0,70 = 98 / E y E = 98/0,70. 0,70·140 = 98, luego la energía consumida es 140 J. Los 42 J que no salen como trabajo útil (140 − 98 = 42) no se siguen en esta lección: el rendimiento solo compara 98 con 140.
5. El reto es otra subida: 10·9,8·2,0 = 196 J útiles y, con η = 0,50, se consumen 392 J. Aquí ni la masa, ni h, ni el rendimiento coinciden, y 98 no es 196. Si inviertes la fracción, 140/98 ≈ 1,43, que no es un rendimiento: pasa de 1.

Julios, vatios y el factor −1

1 J = 1 N·m. En la caja horizontal, 40 N·3,0 m = 120 N·m = 120 J. 1 W = 1 J/s, así que 120 J en 4,0 s son 30 J/s = 30 W. El rendimiento no tiene unidad: 120 J / 200 J = 0,60. Lo que no sale útil es 200 − 120 = 80 J.

Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el factor es −1. No hace falta un ángulo en grados. En la subida, el peso tira hacia abajo y el cuerpo sube: trabajo del peso = −39,2·2,5 = −98 J. El cable hace +98 J. La suma es 0 J, y por eso la cinética no cambia: es la velocidad constante del segundo ejemplo, leída con el signo.

El mismo trabajo útil, a otra prisa, es otra potencia. Si los 98 J de la subida se hicieran en 4,0 s, la potencia sería 98/4,0 = 24,5 W. No es el dato: el dato son 7,0 s y 14 W. Las dos cierran el mismo trabajo: 24,5·4,0 = 98 y 14·7,0 = 98. El reto no da el tiempo. Si repartieras sus 196 J útiles en esos 7,0 s, saldrían 196/7,0 = 28 W, porque 7·28 = 196. Es el doble de trabajo útil que 98 J en el mismo tiempo, luego el doble de 14 W. No es la potencia de la subida de 4,0 kg, y no cambia los 392 J de energía consumida del reto.

La potencia, también como fuerza por velocidad media

La velocidad media es el desplazamiento partido del tiempo, en m/s. Cuando la fuerza y el desplazamiento van en el mismo sentido, la potencia media es la fuerza por esa velocidad media. Tiene que coincidir con W/Δt.

• Caja horizontal. Velocidad media = 3,0/4,0 = 0,75 m/s. Potencia = 40·0,75 = 30 W. Es el mismo 30 W de 120/4,0. 0,75·4,0 = 3,0 m, recuperas el desplazamiento.
• Subida. Velocidad media = 2,5/7,0 m/s. No hace falta el decimal: 39,2·(2,5/7,0) = 98/7,0 = 14 W. Otra vez la potencia del segundo ejemplo.

Lo que no sale como trabajo útil es la fracción 1 − η de la energía consumida. En la caja, 1 − 0,60 = 0,40 y 0,40·200 = 80 J. En la subida, 1 − 0,70 = 0,30 y 0,30·140 = 42 J. En el reto, 1 − 0,50 = 0,50 y 0,50·392 = 196 J: se consume el doble de lo útil, y esa mitad que no sube la masa es también 196 J. El útil sigue siendo 10·9,8·2,0 = 196 J.

Ejercicios