Bloque A · Fundamentos geométricos

Mediatriz, bisectriz y arco capaz

Dibujo Técnico I · 1º Bachillerato Ciencias · Criterio 2.1

Un lugar geométrico es el conjunto de los puntos que cumplen una condición. La mediatriz de AB reúne a los que equidistan de A y de B. La bisectriz de un ángulo reúne a los que equidistan de los dos lados. El arco capaz de 60° sobre un segmento reúne a los puntos desde los que ese segmento se ve bajo 60°.

Mediatriz de AB = 70

  1. Dato. Segmento AB = 70 mm. El punto medio M queda a 35 mm de cada extremo.
  2. Arcos. Centro en A y centro en B, la misma abertura, mayor que 35. En la figura, 50 mm.
  3. Cortes. Los dos arcos se cortan en dos puntos. Cada uno está a 50 mm de A y a 50 mm de B.
  4. Recta. La mediatriz pasa por esos dos cortes y por M. No basta marcar solo M: el lugar es la recta entera.
Paso 1 · AB = 70 A B 70 Paso 2 · arcos de radio 50 Paso 3 · cortes de los arcos 1 2 Paso 4 · mediatriz M
AB = 70. Abertura 50, mayor que 35. Los cortes equidistan de A y de B. La recta que los une es la mediatriz: todo punto de ella está a la misma distancia de A y de B. M es el punto medio.

Bisectriz

  1. Ángulo. En la figura mide 60°, llevado como equilátero: así se puede comprobar la cuerda.
  2. Primer arco. Centro en el vértice V y abertura 50. Corta a los lados en P y Q. Como el ángulo es 60°, PQ = 50.
  3. Dos arcos. Centros en P y en Q, abertura 40 (mayor que la mitad de PQ). Se cortan en E, dentro del ángulo, y en otro punto al otro lado.
  4. Semirrecta. VE es la bisectriz. Parte el ángulo en dos de 30°: E equidista de los dos lados.
Paso 1 · ángulo de 60° V 60° Paso 2 · arco de radio 50 P Q Paso 3 · arcos de radio 40 E Paso 4 · bisectriz
El ángulo mide 60°, así que la cuerda PQ entre los cortes del arco de 50 coincide con el radio: el triángulo VPQ es equilátero. Los arcos de 40, con centros P y Q, se cortan en E, sobre la bisectriz. VE parte el ángulo en dos de 30°.

Segundo caso: arco capaz de 60°

Se pide el arco desde el que el segmento AB = 60 mm se ve bajo 60°. El arco que ese punto intercepta mide el doble, 120°. Con AB = 60, el radio del círculo sale 20√3 mm (34,64) y el centro queda en la mediatriz, a 10√3 mm (17,32) del punto medio.

  1. Segmento y mediatriz. AB = 60. Mediatriz con abertura 40, mayor que 30.
  2. Ángulo de 60° en A. Uno de los lados es AB. El otro se obtiene con el equilátero: desde A y desde un punto F de AB, a 40 mm de A, arcos de 40 mm. Se cortan en G. El ángulo en A es 60°.
  3. Perpendicular. Por A se levanta la perpendicular al lado AG, la misma operación que da la distancia de un punto a una recta. Corta a la mediatriz en O. Ahí está el centro. En la figura el ángulo recto queda marcado entre AG y AO.
  4. Arco. Centro O y radio OA. El ángulo de 60° entre la tangente AG y la cuerda AB es semiinscrito: mide la mitad del arco que queda al otro lado de la cuerda, y ese arco central mide 120°. El lugar es el arco grande, el que va de A a B por el lado opuesto a la tangente, no el casquete corto. OA = OB, así que llega de A a B y cierra. El casquete corto vería AB bajo 120° y no se usa. Hay otro centro, simétrico de O respecto de AB; el procedimiento es el mismo al otro lado y no se repite el dibujo.

P es el punto del arco más alejado de AB. El ángulo APB mide 60°. Cualquier otro punto de ese mismo arco, distinto de A y de B, también. No se ha dejado el arco a medias: los dos extremos están en la circunferencia.

Paso 1 · segmento AB = 60 A B Paso 2 · mediatriz, abertura 40 M Paso 3 · 60° en A y perpendicular G O 60° Paso 4 · el arco cierra P
AB = 60. O está a 10√3 mm (17,32) del punto medio y el radio es 20√3 mm (34,64). El arco capaz es el grande, al lado opuesto de la tangente: OA = OB y cierra de A a B. Desde P se ve AB bajo 60°.

Comprueba

Los arcos de radio 50 con centros A y B se cortan en dos puntos y se une esa recta. ¿Qué puntos de la recta equidistan de A y de B si AB = 70?

En la bisectriz, el arco de centro V ya cortó los lados en P y Q. ¿Para qué son los arcos siguientes, con centros en P y en Q?

En el arco capaz, O es el corte de la mediatriz con la perpendicular a AG. P está en el arco, distinto de A y de B. ¿Qué mide el ángulo APB?

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