Ecuaciones polinómicas, con radicales y racionales

Objetivos

1. Resolver una ecuación polinómica factorizando (factor común y Ruffini).
2. Resolver una ecuación con radical aislando, elevando y comprobando soluciones extrañas.
3. Resolver una ecuación racional sencilla y exigir que el denominador no sea cero.

Explicación

Polinómica: factor común

x² + 3x = 0 se escribe x(x + 3) = 0. Un producto es cero si algún factor es cero: x = 0 o x + 3 = 0, o sea x = −3. Comprueba: 0 + 0 = 0 y 9 + 3·(−3) = 9 − 9 = 0.

Polinómica: cúbica y Ruffini

En x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 la raíz entera x = 1 es evidente:
1 − 6 = −5
−5 + 11 = 6
6 − 6 = 0. Ruffini con el 1:

El cociente es x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Raíces: 1, 2 y 3.

Radical

Se aísla la raíz, se exige que el radicando sea ≥ 0 y que el otro miembro sea ≥ 0 (una raíz cuadrada no vale un negativo), se eleva al cuadrado y se comprueba, porque elevar puede colar soluciones extrañas.

Racional

Se multiplican los dos miembros por el denominador, se anota antes dónde se anula, y se tira cualquier candidato que lo anule.

Glosas de esta lección

√ Raíz cuadrada principal: es ≥ 0. √a solo está definido si a ≥ 0.

Denominador ≠ 0 La ecuación racional no existe en los valores que anulan el denominador.

Raíz de un polinomio Valor que lo anula. Si es entera, Ruffini baja el grado.

Solución extraña Número que aparece al elevar o al quitar denominadores y que no cumple la ecuación de partida.

Ejemplo 1 · La cúbica

x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.

1. x = 1 anula el polinomio: 1 − 6 = −5
   −5 + 11 = 6
   6 − 6 = 0.
2. Ruffini deja x² − 5x + 6.
3. (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6, porque −2 − 3 = −5 y (−2)·(−3) = 6.
4. Soluciones: x = 1, x = 2, x = 3.
5. x = 2:
   8 − 24 = −16
   −16 + 22 = 6
   6 − 6 = 0
   30 − 30 = 0. x = 3:
   27 − 54 = −27
   −27 + 33 = 6
   6 − 6 = 0
   60 − 60 = 0.

Ejemplo 2 · Radical, con una solución que sobra

√(x + 3) = x + 1.

1. Radicando: x + 3 ≥ 0, x ≥ −3. El miembro de la derecha es una raíz, luego x + 1 ≥ 0, x ≥ −1. El dominio de la ecuación queda x ≥ −1.
2. Al elevar: x + 3 = (x + 1)²
   (x + 1)² = x² + 2x + 1.
3. 0 = x² + 2x + 1 − x − 3
   x² + 2x + 1 − x − 3 = x² + x − 2
   x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1).
4. Candidatos: x = −2 y x = 1. x = −2 no cumple x ≥ −1: se descarta. Además −2 + 3 = 1
   √1 = 1 y −2 + 1 = −1; 1 ≠ −1.
5. x = 1: √4 = 2 y 1 + 1 = 2. Sirve. Solución única: x = 1.

Ejemplo 3 · Racional sencilla

(x + 1)/(x − 2) = 3, con x ≠ 2.

1. x + 1 = 3(x − 2)
   3(x − 2) = 3x − 6.
2. 1 + 6 = 3x − x, 7
   3x − x, 7 = 2x, x = 7/2.
3. 7/2 ≠ 2, así que no anula el denominador.
4. Comprueba: numerador 7/2 + 1 = 9/2; denominador 7/2 − 2 = 3/2;9 / 2 = 9/2
   3 / 2 = 3/2
   9/2 / 3/2 = 3.

Error típico

Práctica

La recta marca las tres raíces de la cúbica. Pulsa una y escribe la sustitución que la anula. En el editor, repite la comprobación de x = 1 en el radical.

Pulsa una raíz.

Comprueba

Cierre

Polinomio: factor común o Ruffini y se baja el grado. Radical: aislar, cuidar el dominio, elevar y sustituir. Racional: quitar el denominador sin olvidar dónde estaba prohibido.