Expresiones algebraicas de una recta

Objetivos

• Escribir la misma recta en forma vectorial, paramétrica, continua y general.
• Comprobar un punto en las cuatro formas.
• Reconocer que una recta vertical no admite forma explícita.

Explicación

La recta pasa por el punto (1, 2) y tiene vector director (3, 1). El vector no es otro punto: es el paso que repites.

Forma vectorial

(x, y) = (1, 2) + t(3, 1), con t un número real.

t no es una coordenada. Es el parámetro: cada valor de t da un punto de la recta, y todo punto de la recta sale de algún t.

Forma paramétrica

La misma igualdad, coordenada a coordenada:

x = 1 + 3t

y = 2 + t

Forma continua

Se despeja t en las dos ecuaciones, y solo se puede porque las dos componentes del director son distintas de cero:

(x − 1)/3 = (y − 2)/1

Los denominadores 3 y 1 son las componentes del vector director, en ese orden. No se intercambian.

Forma general

De la continua: x − 1 = 3(y − 2) = 3y − 6. Entonces x − 3y + 5 = 0.

Comprueba el punto de apoyo: 3 · 2 = 6
1 − 6 = −5
−5 + 5 = 0. El vector normal (1, −3) es perpendicular al director: 3 · 1 = 3
1 · (−3) = −3
3 + −3 = 0.

Forma explícita, cuando existe

Aquí la componente x del director no es cero, así que hay pendiente m = 1/3.

y − 2 = (1/3)(x − 1)

y = (1/3)x − 1/3 + 2 = (1/3)x + 5/3

En el punto de apoyo: 1 / 3 = 1/3
5 / 3 = 5/3
1/3 + 5/3 = 2. Si multiplicas la explícita por 3, 3y = x + 5, que es otra vez x − 3y + 5 = 0.

Ejemplo 1 · El punto (4, 3) en las cuatro formas

1. Vectorial. (4, 3) = (1, 2) + t(3, 1) obliga a 3t = 3 y a t = 1. La segunda coordenada pide lo mismo: 2 + t = 3, luego t = 1. Con ese único t el punto está.
2. Paramétrica. t = 1 da 3 · 1 = 3
   1 + 3 = 4
   x = 4 e y = 2 + 1 = 3.
3. Continua.4 − 1 = 3
   3 / 3 = 3/3= 1 y 3 − 2 = 1
   1 / 1 = 1. Los dos miembros coinciden.
4. General.3 · 3 = 9
   4 − 9 = −5
   −5 + 5 = 0.

La explícita, por si quieres una quinta lectura del mismo punto: 1 / 3 = 1/3
1 / 3 = 1/3
1/3 · 4 = 4/3
5 / 3 = 5/3
4/3 + 5/3 = 3.

Ot = 2 da (1, 2) + 2(3, 1)
2 da (1, 2) + 2(3, 1) = (7, 4). Continua: 7 − 1 = 6
6 / 3 = 2 y 4 − 2 = 2. General: 3 · 4 = 12
7 − 12 = −5
−5 + 5 = 0.

Ejemplo 2 · La vertical x = 2 no tiene forma explícita

La recta x = 2 pasa por (2, 0) y por (2, 5). Su vector director es (0, 1): la x no cambia y la y sí.

1. Paramétrica: x = 2, y = s, con s real. Vectorial: (x, y) = (2, 0) + s(0, 1).
2. General: x − 2 = 0, que es x + 0·y − 2 = 0. El coeficiente de y es 0, así que no se puede despejar y.
3. Pendiente entre (2, 0) y (2, 5): m = (5 − 0)/(2 − 2) = 5/0. El denominador es 0. No hay un número real m.
4. Por eso no existen m y n tales que todo punto de la recta cumpla y = mx + n. Esa es la forma explícita, y esta recta no la tiene.

No la confundas con y = 2. Esa es horizontal: pasa por (0, 2) y por (2, 2). El punto (2, 0) de la vertical no cumple y = 2. Y (4, 3) tampoco está en x = 2, porque 4 − 2 = 2, que no es 0.

La forma continua de esta vertical tampoco se escribe (x − 2)/0. Un denominador cero no es una expresión algebraica.

Error típico

Tom = 3/1
3/1 = 3, la componente x partida por la y. Entonces y − 2 = 3(x − 1), o sea y = 3x − 1. En x = 4 sale y = 12 − 1 = 11, no 3. El punto (4, 3) se sale. El director de esa recta equivocada es (1, 3), no (3, 1).

El otro fallo, en la vertical, es escribir y = 2 cuando el dato era x = 2. Cambia el eje que está fijo.

Figura

La recta por (1, 2) y (4, 3), el paso del vector (3, 1), y a su lado la vertical x = 2, que no se puede volcar en y = mx + n.

Por qué funciona

Resolución

Escribe el razonamiento completo. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página.

Cierre

La recta por (1, 2) con director (3, 1) es (x, y) = (1, 2) + t(3, 1), también x = 1 + 3t e y = 2 + t, también (x − 1)/3 = y − 2, y también x − 3y + 5 = 0. El punto (4, 3) cumple las cuatro con t = 1. La vertical x = 2 no tiene forma explícita.