Resolver un triángulo es conocer sus tres lados y sus tres ángulos. El teorema del seno relaciona cada lado con el seno del ángulo opuesto. Se escribe a / sen A = b / sen B = c / sen C. La letra mayúscula es el ángulo; la minúscula es el lado de enfrente. En la calculadora, sen aparece como sin: a / sin A es la misma proporción. Aquí se mantiene sen.
ASA: dos ángulos y el lado comprendido entre ellos. El tercer ángulo sale de que la suma es 180°. AAS: dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos. También se conoce el tercer ángulo, y el teorema del seno empareja el lado conocido con su ángulo. En los dos casos de esta lección el triángulo queda determinado y las cuentas salen exactas.
Si se conoce el lado c y el ángulo C, el cociente c / sen C es el factor común. Entonces a = sen A · (c / sen C). No se multiplica el lado por el ángulo en grados. El seno es un número: sen 30° = 1/2, sen 45° = √2 / 2, sen 60° = √3 / 2, sen 90° = 1.
Si los datos son dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, el caso SSA, puede haber dos triángulos, uno o ninguno. Esta lección no calcula esas dos soluciones. Cuando el enunciado sea SSA, hay que decir que el teorema del seno no cierra el caso por sí solo.
Lados: a = 5, b = 5√3, c = 10. Ángulos 30°, 60° y 90°.
Lados: a = 6, b = 6√2, c = 6.
Se usa el teorema del seno en un SAS, dos lados y el ángulo comprendido, como si ya hubiera un par lado-ángulo opuesto completo. Con lados 5 y 7 y el ángulo de 60° entre ellos no se conoce todavía el lado opuesto ni otro ángulo. Ese dato es del teorema del coseno, lección siguiente, no del seno.
Otro error de notación: escribir a / sen a, con la misma letra en minúscula para el ángulo. El seno pide el ángulo. Si se mezclan, la proporción deja de decir qué número es el lado y cuál es el grado.
Lado opuesto a 30°: la mitad de la hipotenusa, 5. Lado opuesto a 60°: 5√3. Hipotenusa 10, opuesta a 90°.
En la vida real
Si desde los dos extremos de un segmento de 10 unidades se miden ángulos de 30° y 60° hacia un mismo punto, el triángulo es el del ejemplo 1. La distancia pedida no se estima a ojo: el lado opuesto a 30° sale 5. El dibujo a escala puede ayudar, pero la cuenta exacta es la proporción de senos.
El triángulo sigue siendo 30°-60°-90°. El control cambia la hipotenusa c, par, de 2 a 20. Los otros lados se escriben c/2 y (c/2)√3. Comprueba que sus cuadrados suman c2. En la caja, repite el AAS de lados 6, 6√2 y 6.
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Respuesta: 5.
Por qué: C = 90°, sen 90° = 1 y sen 30° = 1/2, luego a = 1 / 2 = 1/2
10 · 1 = 10
10 / 2 = 5. Además 5 es la mitad de la hipotenusa, como corresponde al ángulo de 30°.
Respuesta: 6√2.
Por qué: B = 90° y el cociente común es 6 / (√2 / 2) = 6√2. El lado opuesto al recto es ese cociente, porque sen 90° = 1. Y 36 + 36 = 72
72 = (6√2)2.
Respuesta: porque pueden existir dos triángulos, uno o ninguno, y aquí no se calculan las dos soluciones.
Por qué: el seno de un ángulo agudo y el de su suplementario coinciden, así que un lado y el seno del opuesto no siempre eligen un único ángulo. ASA y AAS sí determinan el tercer ángulo por la suma de 180° antes de usar la proporción.
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Lienzo para el boceto.
Lado entre seno del opuesto, los tres cocientes iguales. Primero el ángulo que falta, si los datos son ASA o AAS. Después la proporción, con senos exactos. SSA queda solo avisado. La comprobación del ejemplo rectángulo es Pitágoras.
Repite el ejemplo ASA con el lado comprendido igual a 6 en vez de 10. Los ángulos siguen siendo 30°, 60° y 90°. Halla los tres lados y comprueba que la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa.
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