En un problema lineal la función objetivo z = 3x + 2y es un plano inclinado, y la región factible es un polígono. El mayor valor no se esconde en el interior: está en algún vértice. Por eso se listan las esquinas, se calcula z en cada una y se compara.
factible = cumple todas las restricciones · vértice = corte de dos fronteras que además cumple las demás · 3 · 4 = 12
2 · 2 = 4
12 + 4 = 16
z(4, 2) = 16 · las otras esquinas dan 0, 12, 13 y 10
Las restricciones x ≤ 4 y x + y ≤ 6 se cortan cuando x = 4 e y = 2, porque 4 + y = 6. Ese punto cumple y ≤ 5 e y ≥ 0. Es el círculo ámbar. y = 5 y x + y = 6 se cortan en (1, 5), que cumple x ≤ 4. El resto de esquinas son los cortes con los ejes y con y = 5 o x = 0: (0, 0), (4, 0) y (0, 5).
z premia más a x (coeficiente 3) que a y (coeficiente 2). Por eso el óptimo se va hacia la derecha, a x = 4, y sube en y solo hasta donde la suma lo permite, y = 2. Subir hasta y = 5 obliga a bajar x a 1 y z baja a 13.
Vértice
z = 3x + 2y
(0, 0)
0
(4, 0)
12
(4, 2)
16, máximo
(1, 5)
13
(0, 5)
10
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Los cinco vértices
Justifica cada esquina del polígono con las restricciones x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 4, y ≤ 5, x + y ≤ 6.
(0, 0) es el origen, corte de x = 0 e y = 0. Cumple el resto: 0 ≤ 4, 0 ≤ 5 y 0 ≤ 6.Glosa: un corte de dos fronteras solo es vértice factible si no se sale de las otras.
(4, 0): x = 4 e y = 0. Suma 4 ≤ 6, y = 0 ≤ 5.Glosa: está en la base del polígono, a la derecha.
(4, 2): x = 4 y x + y = 6, luego y = 2. Además 2 ≤ 5. Es el ámbar.Glosa: si y saliera mayor que 5, este corte no valdría y habría que mirar x = 4 con y = 5.
(1, 5): y = 5 y x + y = 6, luego x = 1, y 1 ≤ 4. (0, 5): x = 0 e y = 5, suma 5 ≤ 6.Glosa: cinco esquinas, no cuatro. Olvidar (4, 2) o (1, 5) cambia el óptimo.
Ejemplo resuelto 2 — Evaluar z
Calcula z = 3x + 2y en los cinco vértices y señala el máximo.
(0, 0): 0. (4, 0): 3 · 4 = 12
12 + 0 = 12. (0, 5): 2 · 5 = 10
0 + 10 = 10.Glosa: en los ejes se anula uno de los dos sumandos.
(4, 2):
3 · 4 = 12
2 · 2 = 4
12 + 4 = 16
12 + 4 = 16.Glosa: es el mayor de la tabla del SVG.
(1, 5):
3 · 1 = 3
2 · 5 = 10
3 + 10 = 13
3 + 10 = 13, menor que 16.Glosa: más coordenada y no compensa el coeficiente 3 de la x que se pierde.
Máximo 16 en (4, 2). Mínimo 0 en (0, 0), por si el enunciado pidiera minimizar: también está en un vértice.Glosa: el método de los vértices vale para el máximo y para el mínimo.
Ejemplo resuelto 3 — Por qué no el centro
Calcula z en un punto interior, por ejemplo (2, 2), y compáralo con 16.
(2, 2) cumple x ≤ 4, y ≤ 5 y 2+2 ≤ 6. Es factible.Glosa: interior no significa óptimo. Solo significa permitido.
z(2, 2) = 6 + 4
6 + 4 = 10, por debajo de 16 y también de 12 y de 13.Glosa: quedarse en medio desaprovecha el coeficiente de x.
Moverse desde (2, 2) hacia la derecha aumenta z en 3 por cada unidad de x, hasta chocar con x = 4 o con la suma.Glosa: el gradiente empuja al borde. Por eso se buscan esquinas, no el centro del polígono.
En el borde x = 4, entre y = 0 (z = 12) e y = 2 (z = 16), z sube con y. El mejor de ese lado es la esquina alta, (4, 2).Glosa: dentro de un lado, el óptimo de una función lineal está en un extremo del lado.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Minimizar
Con la misma región y z = 3x + 2y, ¿dónde está el mínimo?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
En la tabla, el menor valor es 0, en (0, 0). No hace falta otra cuenta: los cinco vértices ya están evaluados y 0 es el más pequeño. El paso es no cambiar de región al cambiar de pregunta. Minimizar y maximizar comparten esquinas; cambia cuál eliges. Si la función fuera z = −3x − 2y, los signos darían la vuelta y el mínimo de aquella sería el máximo de esta, pero aquí z es la del enunciado y el mínimo es el origen.
2. Otra objetivo
Maximiza w = x + 4y en la misma región, evaluando vértices.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
w(0,0) = 0,w(4,0) = 4,w(4,2)
4,w(4,2) = 4+8
4+8 = 12,w(1,5)
12,w(1,5) = 1+20
1+20 = 21, w(0,5) = 20. El máximo pasa a (1, 5), con w = 21. El paso es no reutilizar (4, 2) solo porque ganaba con z. El coeficiente de y ahora es 4, mayor que el de x, y el óptimo se va al vértice más alto. Comprueba que (1, 5) sigue siendo factible: lo era antes y la región no ha cambiado.
3. Vértice falso
¿Es (4, 5) un vértice factible? Calcula la suma y di qué restricción falla.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
x = 4 e y = 5 cumplen las cotas sueltas, pero x + y = 9, y 9 ≤ 6 es falso. No está en el polígono. El paso es contrastar todas las restricciones, no solo las que definen «la esquina visual» de las cotas. Si lo metieras en la tabla, z valdría 12+10 = 22, mayor que 16, y estarías maximizando fuera de la región, que no es una solución del problema. El ámbar (4, 2) es precisamente hasta dónde deja subir y cuando x ya vale 4.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Dónde se alcanza el máximo de z = 3x + 2y?
En (4, 2), con z = 16. Por qué: es el mayor valor entre los cinco vértices factibles (0, 12, 16, 13 y 10). En una región poligonal con objetivo lineal el óptimo está en un vértice, así que no hace falta mirar el interior.
¿Por qué (4, 5) no vale, si x = 4 e y = 5 están permitidos por separado?
Porque juntos suman 9 y la restricción x + y ≤ 6 no se cumple. Por qué: todas las desigualdades son obligatorias a la vez. El polígono se corta en (4, 2) y en (1, 5), no en (4, 5).
Si el objetivo pasa a ser x + 4y, ¿se mantiene el óptimo?
No se mantiene: el óptimo pasa a (1, 5). El paso es volver a evaluar el objetivo nuevo en los vértices, no heredar el ganador del objetivo anterior. Con w = x + 4y sale w(1, 5) =4 · 5 = 20
1 + 20 = 21, w(0, 5) = 20 y w(4, 2) = 4 + 8 = 12, así que ahora gana (1, 5). El vértice óptimo depende de los coeficientes, no solo de la forma del polígono.
Reto Profesor
Cambia el premio
Copia el polígono en el lienzo, anota z en cada vértice y marca (4, 2). Después prueba en el laboratorio el vértice (1, 5).