Una cuadrática de la forma (x − r)(x − s) vale 0 justo cuando x = r o x = s. Esas son las raíces, los cortes con el eje horizontal. La parábola es simétrica respecto de la vertical que pasa por el punto medio de las raíces. Ese punto es el vértice.
raíces 1 y 3 · eje de simetría x = 1 + 3 = 4
4 / 2 = 2 · f(2) = −1 · abre hacia arriba porque el coeficiente de x² es positivo · f(x) = x² − 4x + 3 es la misma función desarrollada
En el gráfico los círculos claros están en (1, 0) y (3, 0), sobre el eje. El círculo ámbar está más abajo, en (2, −1): entre las dos raíces la función es negativa, porque los factores (x−1) y (x−3) tienen signos distintos. Fuera del intervalo, por ejemplo en x = 0 o en x = 4, la función vale 3 y la curva está por encima del eje.
Desarrollar no cambia la parábola: (x−1)(x−3) = x² − 3x − x + 3
x² − 3x − x + 3 = x² − 4x + 3. Sustituir x = 1 en el polinomio da 1 − 4 = −3
−3 + 3 = 0, la misma raíz. El vértice no se lee en el término independiente; el 3 es f(0), otro punto.
| x | f(x) | Qué es |
|---|---|---|
| 1 | 0 | raíz |
| 2 | −1 | vértice, mínimo |
| 3 | 0 | raíz |
| 0 | 3 | corte con el eje vertical |
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Para f(x) = (x − 1)(x − 3), halla los cortes con el eje horizontal y el vértice.
Escribe f como polinomio y comprueba f(1), f(3) y f(0).
Resuelve x² − 4x + 3 = 0 y di el signo de f en el intervalo (1, 3).
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
g(x) = (x − 0)(x − 4)
(x − 0)(x − 4) = x(x − 4). Halla raíces y vértice.
Raíces 0 y 4. El vértice está en x = 2, la media.2 − 4 = −2
2 · (−2) = −4
g(2) = −4. Vértice (2, −4). El paso es el mismo que en el ejemplo: media de las raíces y sustitución. No reutilices el −1 de f; esa altura era de otras raíces, más juntas. Aquí la parábola baja más. Comprueba g(0) = 0 y g(4) = 0.
h(x) = 2(x − 1)(x − 3). ¿Cambian las raíces? ¿Y la y del vértice?
Las raíces siguen en 1 y 3, porque el factor 2 no se anula. El eje sigue en x = 2. Pero h(2) = 2·(−1) = −2, no −1. El vértice baja a (2, −2). El paso es no creer que un coeficiente positivo delante solo «estrecha» sin tocar la altura: multiplica todos los valores, también el del vértice. Las raíces se salvan precisamente porque lo que se multiplica es cero.
p(x) = x² + 1. ¿Dónde está el vértice y por qué no corta al eje horizontal?
p(x) = x² + 1 es siempre al menos 1. El mínimo está en x = 0, p(0) = 1, vértice (0, 1), por encima del eje. No hay raíces reales: x² = −1 no tiene solución real. El paso es mirar el vértice antes de forzar una factorización que no existe. A diferencia del ejemplo, aquí no hay dos cortes que promediar; la simetría se lee porque no hay término en x, así que el eje es x = 0.
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Laboratorio — Parábola con raíces 1 y 3. Si el marco no carga, abre el hermano: l21-funciones-cuadraticas.html.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
Raíces x = 1 y x = 3, vértice (2, −1). Por qué: la forma (x−1)(x−3) se anula en 1 y en 3, el medio es 2 y f(2) = −1. Los tres puntos están marcados; el ámbar es el más bajo.
Por la simetría respecto de x = 2. Por qué: 0 y 4 equidistan del eje, y al desarrollar f(0) = 3 y f(4) = 3. No es casualidad del término independiente solo: el 3 de f(0) se refleja al otro lado.
No. Por qué: el coeficiente de x² es positivo, así que hay un mínimo, pero ese mínimo es −1, por debajo del eje. Entre las raíces la función es negativa. Positiva lo es fuera de [1, 3].
En el lienzo dibuja la parábola, señala (1, 0), (3, 0) y (2, −1) y escribe el signo entre las raíces.
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