La derivada f′(a) no es «la fórmula mágica»: es la velocidad de cambio de f en el instante x=a. Si f crece rápido, |f′| es grande; si f es casi plana, f′≈0.
f = magnitud que cambia · x = variable independiente · f′(a) = límite de las variaciones medias cuando el intervalo se encoge alrededor de a
Unidades: si s(t) está en km y t en horas, entonces s′(t) está en km/h. Si P(t) está en euros y t en semanas, P′ está en €/semana.
| f′ en un intervalo | Lectura de f |
|---|---|
| f′ > 0 | f es creciente (en media instantánea, sube) |
| f′ < 0 | f es decreciente |
| f′ = 0 | cambio instantáneo nulo: posible extremo, meseta o punto de inflexión horizontal |
Toma f(x)=x²/4. Entonces f′(x)=x/2 (regla de potencias). En x=2, f(2)=1 y f′(2)=1: la tangente tiene pendiente 1.
Un comercio rebaja un artículo según P(t)=50−2t, con P en euros y t en semanas desde el inicio de la campaña (t≥0). Interpreta P′ y comprueba con una variación media.
El volumen de agua es V(t)=3t² litros, con t en minutos (modelo simplificado, t≥0). Halla a qué ritmo se llena en el instante t=4 y contrástalo con una variación media corta.
f(x)=−x²+6x da la altura en metros de una trayectoria vertical simplificada, con x en segundos. ¿En qué instante se anula la velocidad instantánea, y qué ocurre antes y después?
Escribe el razonamiento completo en el editor. Si necesitas boceto de tangente, usa el lienzo de esta misma página.
La masa m(t) de un cultivo se mide en gramos y t en horas. ¿En qué unidades va m′(t)? Explica con una frase qué significa m′(3)=0,4.
m′ va en g/h. m′(3)=0,4 significa: en el instante t=3 h, la masa aumenta a razón de 0,4 gramos por hora. No digas «0,4 gramos»: eso sería la magnitud, no su ritmo.
g(x)=x³−3x. Se sabe g′(x)=3x²−3. Estudia el signo de g′ en (−1,1) y di si g crece o decrece ahí.
g′(x) = 3(x²−1)
3(x²−1) = 3(x−1)(x+1). En (−1,1), (x−1)<0 y (x+1)>0, producto negativo, por 3 sigue negativo: g′<0. Por tanto g es decreciente en (−1,1). Error típico: mirar solo g′(0)=−3 y no justificar el intervalo entero.
h(x)=4x−1. Calcula h′(x) y explica por qué la variación media entre x=0 y x=10 coincide con h′.
h′(x)=4 constante. Variación media (h(10)−h(0))/(10−0)=
39 − −1 = 40
40 / 10 = 40/10=4. En una afín, la pendiente es la misma en todo punto y coincide con cualquier variación media.
En el SVG de arriba, f(x)=x²/4 y la tangente en x=2 tiene pendiente 1. ¿Qué valor es f′(2)? Si alguien dice que f′(2)=f(2)=1, ¿qué confunde?
f′(2)=1, sí, pero por la pendiente de la tangente (o por f′(x)=x/2), no porque f(2) valga 1. Confunde el valor de la función con el valor de la derivada: a veces coinciden numéricamente (como aquí) y eso engaña.
En el lienzo, copia a mano una parábola abierta hacia arriba, marca un punto y traza la tangente. Anota al lado «pendiente ≈ …» con un número estimado.
Tres preguntas. Escríbelas mentalmente antes de abrir.
La unidad es el metro por segundo (m/s). El paso es dividir la unidad de la magnitud entre la de la variable: s está en metros y t en segundos, así que s′ hereda «metros por cada segundo». No es un número sin unidad, ni tampoco «metros» a secas: sin el «por segundo» estarías nombrando una posición, no una velocidad.
P′(t)=−2 €/semana: cada semana el precio baja 2 €, y eso vale para cualquier t porque la función es afín. El paso es leer la pendiente: la derivada de mt+n es m, aquí m=−2, con unidades euros por semana. No digas solo «−2» ni solo «baja 2»: el número ya es un ritmo, y el signo marca el sentido de la rebaja.
No. f′(a)=0 solo dice que la tangente es horizontal: el cambio instantáneo en ese punto es nulo. El paso siguiente es mirar el signo de f′ a la izquierda y a la derecha, o el contexto del fenómeno. Puede ser un máximo, un mínimo, una meseta o un punto de inflexión con tangente horizontal. Sin ese contraste de signos no se puede bautizar el punto.
Elige una magnitud que puedas medir (altura de una planta en cm/día, saldo en €/mes). Escribe qué significaría una derivada positiva, una negativa y un cero. Usa el editor de un ejercicio vacío o un papel; el razonamiento debe llevar unidades.
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