1º Bach Matemáticas Generales · CyL Decreto 40/2022 · B.2 Variación absoluta y variación media
Objetivos
Calcular una variación absoluta con unidades.
Dividirla entre el tiempo para obtener la variación media.
Explicar qué dice y qué no dice ese ritmo medio.
Dos preguntas distintas sobre el mismo cambio
La variación absoluta responde «¿cuánto ha cambiado la magnitud?». Es una resta: valor final menos valor inicial. Conserva la unidad de la magnitud. Si el resultado es negativo, la magnitud ha bajado.
La variación media responde «¿con qué ritmo constante se habría producido ese mismo cambio en ese intervalo?». Es el cociente entre la variación absoluta y la variación de la variable independiente. Su unidad es un cociente de unidades: kilómetros por hora, euros por semana, grados por minuto.
Δs = s(final) − s(inicial) · Δt = t(final) − t(inicial) · variación media = Δs / Δt · la secante es la recta que pasa por los dos puntos del intervalo; su pendiente es la variación media
En el gráfico, s(t) = t² − 2t + 10, con t en horas y s en kilómetros. No hace falta derivar: basta evaluar los extremos. s(2) = 10 y s(6) = 34. La curva no es recta, así que el móvil no ha ido todo el rato a la misma velocidad. Aun así, la secante verde tiene pendiente 6: un movimiento constante a 6 km/h, durante esas 4 horas, habría acumulado los mismos 24 km.
Por eso la variación media no es «la velocidad que llevaba» ni una media aritmética de dos fotos sacadas al tuntún. Es el ritmo constante equivalente en ese intervalo concreto. Si alargas el intervalo, el cociente puede cambiar aunque el cambio absoluto sea otro.
Cálculo en el ejemplo
Unidad
Qué no dice
Variación absoluta
34 − 10 = 24
km
no dice cuánto tardó
Variación de t
6 − 2 = 4
h
no es un espacio
Variación media
24 / 4 = 6
km/h
no es la velocidad en t = 2 ni en t = 6
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Los 24 km en 4 horas
s(t) = t² − 2t + 10. Calcula la variación absoluta y la media de s entre t = 2 y t = 6, y explica la frase «equivale a 6 km/h constantes».
Evalúa los extremos: 4 − 4 = 0
0 + 10 = 10
s(2) = 10.36 − 12 = 24
24 + 10 = 34
s(6) = 34. Son los dos círculos del gráfico.Glosa: sustituye antes de restar; no restes los tiempos dentro de la fórmula como si fueran el espacio.
Variación absoluta: Δs = 34 − 10 = 24 km. El orden es final menos inicial.Δt = 6 − 2
6 − 2 = 4 h.Glosa: si inviertes el orden, el signo cambia y dirías que el espacio disminuye, en contra del dibujo.
Variación media: 24 km / 4 h = 6 km/h. Es la pendiente de la secante verde: en horizontal avanza 4 horas y en vertical 24 km.Glosa: pendiente = incremento vertical / incremento horizontal, con las unidades puestas.
Interpretación: durante esas 4 horas el espacio ha crecido 24 km. Un vehículo a 6 km/h constantes habría hecho el mismo neto. La curva, al no ser recta, no ha mantenido esa velocidad en cada instante; la media no lo afirma.Glosa: decir «iba a 6 km/h» a secas sobra. Di «en media, en ese intervalo».
Ejemplo resuelto 2 — Cuando la magnitud baja
El precio de un abono pasa de 50 € en la semana 0 a 35 € en la semana 5. Calcula variación absoluta y media, con signo y unidades.
ΔP = 35 − 50
35 − 50 = −15 €. El signo menos es parte del resultado: el precio ha bajado 15 euros.Glosa: la variación absoluta no es siempre el valor absoluto. El signo informa de la dirección.
Δt = 5 − 0 = 5 semanas.Glosa: la semana 0 cuenta como instante inicial; el intervalo dura 5 semanas, no 6.
Variación media = −15 € / 5 semanas = −3 €/semana.Glosa: se lee «baja, en media, 3 euros cada semana» a lo largo de esas cinco.
Comprueba con un ritmo constante: si cada semana restaras 3 €, en 5 semanas restarías 15 € y llegarías de 50 a 35. Eso no demuestra que la bajada haya sido uniforme, solo que el neto coincide.Glosa: la misma idea de la secante, ahora con pendiente negativa.
Ejemplo resuelto 3 — El mismo cambio absoluto, otro ritmo
Unos 24 km pueden recorrerse en 4 h o en 8 h. Compara las dos variaciones medias y di qué dato distingue las situaciones.
En ambos casos la variación absoluta del espacio es +24 km. Ese dato, solo, no distingue los dos viajes.Glosa: por eso hace falta una segunda pregunta, la del ritmo.
Primer viaje: Δt = 4 h, media = 24/4 = 6 km/h. Es el ejemplo del gráfico.Glosa: mismo cociente que la secante de (2, 10) a (6, 34).
Segundo viaje: Δt = 8 h, media = 24/8 = 3 km/h.Glosa: el numerador no ha cambiado; al doblar el denominador, el ritmo se parte por la mitad.
Lo que distingue las situaciones es Δt, y por tanto la variación media. Quedarse en «han avanzado 24 km» omite el tiempo que la media sí incorpora.Glosa: absoluta y media no se sustituyen; se complementan.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Otro intervalo de la misma curva
Con s(t) = t² − 2t + 10, calcula la variación media entre t = 0 y t = 2. ¿Sale también 6?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
s(0) = 10 y s(2) = 10, así que Δs = 0 km y Δt = 2 h. La variación media es 0/2 = 0 km/h. No sale 6: el ritmo medio depende del intervalo. Entre 0 y 2 la curva sale de 10 y vuelve a 10 (baja y sube), y el neto es nulo; la secante sería horizontal. El paso es volver a evaluar los extremos nuevos en vez de reutilizar el 6 del intervalo [2, 6]. Un neto cero no significa que el móvil haya estado parado todo el rato, solo que el cambio acumulado es cero.
2. Unidades
Una cuenta pasa de 1 200 € a 1 560 € en 9 meses. Da la variación absoluta y la media por mes.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Variación absoluta: 1 560 − 1 200 = 360 €. No hace falta cambiar de unidad para esta resta. La media pide un cociente: 360 € / 9 meses = 40 €/mes. El paso es no convertir los 9 meses en 0,75 años si vas a expresar el ritmo por mes; si quisieras euros por año, primero decidirías la unidad del denominador y sería 360 / 0,75 = 480 €/año. Las dos medias son coherentes (40×12 = 480), pero mezclar «9» con «euros al año» no lo es. La media sigue siendo un ritmo equivalente, no la lista de ingresos de cada mes.
3. Lectura de la secante
Alguien mira el gráfico y dice que la variación media es 34 − 6 = 28 porque «resta las coordenadas que se ven». ¿Qué coordenadas ha mezclado?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Ha restado la ordenada final (34) y la abscisa final (6), que no comparten unidad: kilómetros menos horas. La variación absoluta del espacio usa las dos ordenadas, 34 − 10. La del tiempo usa las dos abscisas, 6 − 2. Solo después se dividen. El 28 no es una variación de esta lección. El paso ordenado es: identifica qué eje es la magnitud y cuál es la variable, resta en cada eje por separado y divide. La pendiente 6 del dibujo sale de 24/4, no de una resta cruzada.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Qué diferencia hay entre 24 km y 6 km/h en el ejemplo?
24 km es la variación absoluta, el cambio neto de espacio. 6 km/h es la variación media, ese cambio repartido entre las 4 horas. Por qué: la primera no contiene el tiempo; la segunda sí, porque es un cociente. Un movimiento a 6 km/h constantes durante 4 h reproduce el neto, aunque la curva real no sea constante.
¿Puede la variación absoluta ser negativa y la media también?
Sí, como en el abono: −15 € y −3 €/semana. Por qué: el signo se conserva al dividir entre un Δt positivo. Significa que la magnitud disminuye. Tomar el valor absoluto es otra decisión, y hay que decirlo; no sale de la definición.
Si la variación absoluta es 0, ¿la media es 0?
Sí, siempre que el intervalo de la variable no sea 0. Por qué: el numerador es 0 y el cociente es 0, como entre t = 0 y t = 2 en esta curva. No concluye que la magnitud haya sido constante, solo que ha terminado donde empezó.
Reto Profesor
Un trayecto real
Anota dos lecturas de una magnitud (pasos, saldo, temperatura) y el tiempo entre ellas. Escribe variación absoluta y media con unidades y una frase que diga «equivale a…».