Si un proceso tiene k etapas y en la etapa i hay nᵢ opciones independientes de las anteriores, el total de resultados es el producto n₁·n₂·…·n_k. Piensa en una rejilla: cada celda es un par (fila, columna).
Si puedes llegar al mismo tipo de resultado por caminos que no se solapan (o A o B, nunca ambos), entonces sumas los cardinales de esos caminos.
producto = «y luego» · suma = «o bien» · doble conteo = sumar con intersección no vacía sin restar
Ejemplo resuelto 1 — menú completo
Un comedor ofrece 2 primeros, 3 segundos y 2 postres. Eliges exactamente uno de cada. ¿Cuántos menús distintos hay?
Etapa 1: 2 primeros; etapa 2: 3 segundos; etapa 3: 2 postres. Las elecciones son independientes.Glosa: «independiente» aquí significa que el segundo no restringe el primero.
Por la regla del producto: 2 · 3 = 6
6 · 2 = 12 menús.Glosa: 2·3=6 combinaciones de primero+segundo; cada una admite 2 postres → 12.
Comprobación parcial: fija el primer plato A; quedan 3·2=6 menús con A. Igual con B: otros 6. Total 12.Glosa: partir en casos excluyentes (A o B) y sumar recupera el mismo producto.
Error a evitar: sumar 2 + 3 = 5
5 + 2 = 7. Eso contaría «elegir un solo plato entre todos», no un menú de tres platos.Glosa: la suma responde a un «o»; el menú pide «y».
Ejemplo resuelto 2 — cromos en sobres
Hay 24 cromos idénticos en valor y se reparten en 4 sobres con el mismo número en cada uno. ¿Cuántos cromos van en cada sobre?
El enunciado pide un reparto equitativo: partes iguales.Glosa: eso apunta a división, no a producto.
24÷4 = 6. Cada sobre recibe 6 cromos.Glosa: 4·6=24 cierra la comprobación por producto inverso.
Si el reparto no fuera equitativo, la división sola no bastaría: haría falta la lista de tamaños.Glosa: lee siempre si hay igualdad de partes.
Ejemplo resuelto 3 — unión con solape
|A|=10 personas en el club de mates, |B|=7 en el de teatro, y 3 están en ambos. ¿Cuántas personas hay en al menos un club?
Si sumas 10+7=17, las 3 de la intersección se han contado dos veces.Glosa: doble conteo = el síntoma de olvidar el solape.
|A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|
10 + 7 = 17
17 − 3 = 14
|A|+|B|−|A∩B| = 14.Glosa: restar una vez la intersección deja a cada persona contada una sola vez.
Diagrama mental: solo A: 7; solo B: 4; ambos: 3; total 14.Glosa: 7 + 4 = 11
11 + 3 = 14 confirma la fórmula.
Ejercicios
1. Camisetas
Una tienda tiene 4 tallas y 5 colores. Cada camiseta se define por una talla y un color. ¿Cuántas variantes hay? Escribe la regla que usas y un error típico.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Hay 4·5=20 variantes. Usas la regla del producto porque eliges talla y color de forma independiente: cada talla se combina con cada color. El error típico es sumar 4+5=9, que respondería a «elegir solo talla o solo color», no a la pareja completa. Comprueba: fija talla M → 5 colores; cuatro tallas → 20.
2. Dos caminos
Para ir al instituto puedes tomar 3 rutas en bus o 2 rutas en bici; no combinas bus y bici en el mismo trayecto. ¿Cuántas formas de ir hay? Justifica suma o producto.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Hay 3+2=5 formas. Son caminos excluyentes: o vas en bus (3 opciones) o en bici (2), nunca ambas a la vez en este enunciado. Por eso sumas. Si el enunciado pidiera «bus y luego bici», sería producto. La palabra «o» sin solape apunta a suma.
3. Corregir el doble conteo
En un aula, 18 tocan un instrumento, 12 cantan en el coro y 5 hacen ambas cosas. ¿Cuántos hacen al menos una de las dos actividades? Explica cada término de la fórmula.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
18 + 12 = 30
30 − 5 = 25
|A∪B| = 25. Sumas los que tocan y los que cantan, y restas los 5 de la intersección porque ya estaban en ambos sumandos. Sin restar obtendrías 30 y contarías dos veces a quienes hacen las dos actividades. Solo instrumento: 13; solo coro: 7; ambos: 5; total 25.
Dibuja la rejilla
En el lienzo, dibuja una rejilla 2×3 y numera las 6 celdas. Anota al lado «producto 2·3=6».
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Por qué 3×4 es 12 y no 7?
Porque cada fila se combina con cada columna: son etapas «y luego», no alternativas «o». La suma 3+4=7 contaría elegir una fila o una columna aislada, no un par. La rejilla del SVG tiene 12 cruces/celdas: una por cada par.
24 cromos en 4 sobres iguales: ¿qué operación y por qué?
División 24÷4=6. El enunciado impone partes iguales, así que el cardinal total se reparte en 4 grupos del mismo tamaño. La comprobación es el producto inverso 4·6=24. Si los sobres pudieran tener tamaños distintos, no bastaría una sola división.
Si |A∩B|>0 y sumas |A|+|B| sin restar, ¿qué falla?
Cometes doble conteo: cada elemento de la intersección aparece en |A| y otra vez en |B|. La unión real exige restar |A∩B| una vez (inclusión-exclusión). Sin ese resto, el número queda hinchado y no describe «al menos en A o en B».
Reto Profesor
Inventario en casa
Elige ropa o comida con 2 o 3 atributos (tipo×color×tamaño) y escribe el producto; dibuja la rejilla en el lienzo.