Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato

Lección 26 · C.5 · Pensamiento computacional

Formular y comparar algoritmos

1º Bach CCSS · CyL Decreto 40/2022 · C.5 Comparación de algoritmos

Objetivos

El problema

Se depositan 1000 € al 5 % anual compuesto, durante 3 años, sin aportaciones nuevas. Se quiere el capital final.

Ck = Ck−1 · (1 + r), con C₀ = 1000, r = 0,05, k = 1, 2, 3.

Cₖ es el capital al acabar el año k; r es el tipo anual en tanto por uno; 1 + r es el factor de un año; C₀ es el capital inicial.

Cₙ = C₀ · (1 + r)ⁿ, aquí C₃ = 1000 · (1,05)³.

n es el número de años, aquí 3; la fórmula cerrada exige que r sea el mismo todos los años. (1,05)³ es el factor acumulado, no la suma 1,05 · 3.

Ejecutor de pasos

Usa Anterior y Siguiente. No hay datos que vengan de fuera de la página.

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Datos comunes

Tres multiplicaciones encadenadas frente a una potencia A: 1000 → 1050 → 1102,50 → 1157,625 B: 1000 · (1,05)³ = 1157,625

Ejemplo 1. Las cuentas, escritas

  1. Año 1: 1000 · 1,05 = 1050.
  2. Año 2: 1050 · 1,05 = 1102,50.
  3. Año 3: 1102,50 · 1,05 = 1157,625.
  4. Cerrada: (1,05)² = 1,1025; 1,1025 · 1,05 = 1,157625; ·1000 = 1157,625. Mismo capital.

Ejemplo 2. Otro problema, dos recorridos

Hallar el máximo de 12, 7, 19, 15.

  1. Recorrido lineal: máximo provisional 12. 7 no lo supera. 19 sí: provisional 19. 15 no. Máximo 19. Comparaciones: 3, que es n − 1 con n = 4.
  2. Por parejas: max(12, 7) = 12; max(19, 15) = 19; max(12, 19) = 19. También 3 comparaciones y el mismo 19.
  3. Ordenar la lista entera de mayor a menor y quedarse con la primera también da 19, pero ordenar hace más trabajo del necesario si solo se pide el máximo.

Comparaciones del recorrido lineal = n − 1.

n es el número de datos, aquí 4; se compara cada dato nuevo con el provisional, y el primero no se compara contra nadie.

Ejercicios

1. Dos años al 10 %

Capital 2000 € al 10 % anual compuesto, 2 años. Calcula el final con los dos algoritmos.

Corrección
  1. Año 1: 2000 · 1,10 = 2200.
  2. Año 2: 2200 · 1,10 = 2420.
  3. Fórmula: (1,10)² = 1,21; 2000 · 1,21 = 2420.
  4. Coinciden.

1,10 · 1,10 es 1,21, no 1,20. El céntimo que falta en 1,20 sería olvidar el interés del interés. Por eso 2000 · 1,20 = 2400 no es el capital compuesto.

2. Tipo que cambia

El primer año el tipo es 5 % y el segundo es 10 %, capital inicial 1000. ¿Sirve (1,05)²? Calcula el capital correcto.

Corrección
  1. (1,05)² supone dos años al 5 %. No sirve.
  2. Año 1: 1000 · 1,05 = 1050.
  3. Año 2: 1050 · 1,10 = 1155.
  4. El algoritmo paso a paso admite un factor distinto cada año; la potencia de un solo factor, no.

1155 no es ni 1000 · 1,05² = 1102,50 ni 1000 · 1,10²
1102,50 ni 1000 · 1,10² = 1210. Cada año aporta su propio factor, y el orden aquí da 1,05 · 1,10 = 1,155.

3. Máximo repetido

Aplica el recorrido lineal a 3, 8, 5, 8. ¿Cuál es el máximo y cuántas comparaciones haces?

Corrección
  1. Provisional 3.
  2. 8 lo supera: provisional 8.
  3. 5 no. El segundo 8 tampoco supera al provisional.
  4. Máximo 8, con 3 comparaciones. Que el 8 aparezca dos veces no cambia el máximo.

El algoritmo no cuenta frecuencias: solo retiene el mayor valor visto. Para la moda haría falta otro algoritmo, que cuente repeticiones.

4. No generalices un atajo

Alguien calcula el 10 % de 80 como 80/10 = 8. Otro hace 80 · 0,10 = 8. Calcula el 7,5 % de 80 y di qué atajo se rompe.

Corrección
  1. 80 · 0,075 = 6. También 80 · 7,5 / 100 = 600 / 100 = 6.
  2. Dividir entre 10 solo corresponde al 10 %, no al 7,5 %.
  3. 80/10 = 8 no es el 7,5 % de 80.
  4. Los dos algoritmos del 10 % coincidían; el primero no se exporta a otro porcentaje.

Un algoritmo lleva sus hipótesis escritas. «Mover la coma» o dividir entre 10 es el algoritmo del 10 %, no el del porcentaje general. El producto por el tanto por uno sí se exporta.

Cierre

Comparar algoritmos es decir qué hipótesis usa cada uno, cuántos pasos crecen con el tamaño del problema y en qué caso uno deja de valer. Mismo resultado no significa misma receta.