Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · 1.º Bachillerato

Lección 15 · C.2 · Modelo matemático

Qué función modeliza la situación

Decreto 40/2022 CyL · primer curso · antes de segundo

Objetivos

Qué mirar en el relato

El apartado C.2 pide identificar la clase de funciones que puede modelizar una situación sencilla y usar ecuaciones para modelizar. En esta lección el trabajo se queda en la puerta de la ecuación: dejarla escrita, con dominio y con unidades. El cálculo fino —raíces, soluciones extrañas, comprobación algebraica larga— está en la lección 16.

Una guía corta, suficiente para los relatos de este curso:

f(x) = mx + b

x es la variable que eliges (kilómetros, unidades, años contados de uno en uno si el incremento es constante); m es el cambio de f por cada unidad de x; b es el valor cuando x = 0, a menudo un fijo; f(x) es la magnitud que quieres calcular, en su unidad.

P(t) = P0 · (1 + r)t

P(t) es la población, el ahorro o el índice al cabo de t periodos; P0 es el valor inicial; r es la tasa de crecimiento de un periodo, en tanto por uno; 1 + r es el factor por el que se multiplica cada periodo; t es el número de periodos, no necesariamente un año si el dato era mensual.

t = W / n

W es la cantidad fija de trabajo, por ejemplo en personas-hora; n es el número de personas, que no puede ser cero; t es el tiempo que tardarán si trabajan a la vez al mismo ritmo. Es una proporcionalidad inversa: doble de personas, mitad de tiempo, mientras el relato no añada aprendizaje ni fatiga.

Plantear la ecuación es escribir una igualdad entre el modelo y el dato que busca el problema. Si el taxi cuesta 2 euros de salida y 0,80 euros por kilómetro, y la pregunta es «¿cuántos kilómetros hacen 10 euros?», la ecuación es 0,80x + 2 = 10. Paramos ahí. Despejar x es fácil, pero el hábito que importa es no saltarse el modelo. En un crecimiento porcentual, la ecuación se deja indicada a propósito: resolverla pide logaritmos, y ese despeje no es de esta lección.

Cuatro clases: lineal, cuadrática, exponencial y de proporcionalidad inversa lineal cuadrática exponencial inversa

Ejemplo 1. Un desplazamiento con bajada de bandera

Un servicio de transporte cobra 2 € al empezar y 0,80 € por cada kilómetro. No hay tramos ni recargo nocturno en este enunciado. Se quiere saber cuántos kilómetros corresponden a un importe de 10 €.

  1. La variable: x, kilómetros, x ≥ 0.
  2. Cada kilómetro suma la misma cantidad, y hay un fijo. Es lineal, no exponencial: no se multiplica el precio por 0,80 cada kilómetro.
  3. Modelo: f(x) = 0,80x + 2, en euros.
  4. La pregunta se traduce en la ecuación 0,80x + 2 = 10.
  5. No despejamos aquí. Dejamos escrita la ecuación y el dominio x ≥ 0. La solución, cuando se haga, tendrá que respetar ese dominio.

0,80x + 2 = 10, con x ≥ 0

x es el número de kilómetros; 0,80 es el precio de un kilómetro en euros; 2 es la bajada de bandera en euros; 10 es el importe total que impone la pregunta; f no aparece ya porque la ecuación iguala el modelo a ese importe.

Ejemplo 2. Una población que se multiplica, y un trabajo que se reparte

Un municipio tiene 8 000 habitantes y crece un 3 % cada año. Se pregunta al cabo de cuántos años llegará a 10 000, si ese ritmo se mantiene.

  1. Cada año se multiplica por el mismo factor 1,03. No se suman 240 habitantes fijos: el 3 % es del valor de ese año, así que el aumento absoluto crece. Es exponencial, no lineal.
  2. P(t) = 8000 · (1,03)t, con t el número de años, t ≥ 0.
  3. La ecuación es 8000 · (1,03)t = 10000.
  4. Se puede simplificar la escritura dividiendo por 8000: (1,03)t = 10000 / 8000 = 1,25. Paramos antes del logaritmo.

8000 · (1,03)t = 10000

8000 es la población inicial; 1,03 es el factor anual, porque el 3 % en tanto por uno es 0,03; t es el número de años; 10000 es la población objetivo. La incógnita está en el exponente, no en la base.

Contraste, para no usar la exponencial donde no toca. Cuatro personas terminan un inventario en 6 horas, al mismo ritmo, y se pregunta cuántas personas harían falta para terminarlo en 3 horas. El trabajo total es 4 · 6 = 24 personas-hora. Si n personas trabajan 3 horas, n · 3 = 24. Es proporcionalidad inversa entre personas y tiempo, no un crecimiento del 3 % . La ecuación queda planteada; el despeje n = 8 es inmediato, pero lo que había que decidir era la clase.

n · 3 = 24, con n > 0

n es el número de personas; 3 es el tiempo disponible en horas; 24 es el trabajo fijo en personas-hora, obtenido como 4 personas por 6 horas. n no puede ser cero ni negativo.

Ejercicios

1. Nombra la clase

Un ahorro se multiplica por 1,05 cada año. ¿Qué clase de función modeliza el saldo al cabo de t años? Escribe el modelo si el saldo inicial es 400 €. No calcules t.

Corrección
  1. Multiplicar cada año por el mismo factor es un modelo exponencial.
  2. S(t) = 400 · (1,05)t, t ≥ 0 en años, S en euros.
  3. No es lineal: el aumento del segundo año es el 5 % de una cantidad ya mayor.

El factor 1,05 ya incluye el «uno» del capital más el 0,05 de interés. Escribir 400 · (0,05)t haría desaparecer el ahorro. La base es 1 + r, no r.

2. Ingreso que es un producto

El precio de venta es p euros y, a ese precio, se venden q = 20 − p unidades, con 0 ≤ p ≤ 20. El ingreso es precio por unidades. ¿Qué clase de función de p es el ingreso? Escribe I(p) y la ecuación I(p) = 96, sin resolverla.

Corrección
  1. I(p) = p · (20 − p)
    p · (20 − p) = 20p − p2. Es un polinomio de grado 2: cuadrática.
  2. No es lineal, porque aparece p · p.
  3. La ecuación pedida es 20p − p2 = 96, con 0 ≤ p ≤ 20.

La demanda es lineal en p, pero el ingreso multiplica por p otra vez. El producto de la variable por una expresión de grado 1 sube el grado a 2. Resolver 20p − p2 = 96 pertenece a la lección de ecuaciones; aquí basta dejarla escrita y acotar p.

3. Elige y descarta

Una tarifa de envío cobra 4 € si el paquete pesa hasta 2 kg, y 4 € más 1,50 € por cada kilo que pase de 2. ¿Sirve una sola recta para todo peso positivo? Escribe el modelo por tramos. Plantea la ecuación del peso que costaría 10 €, sin resolverla.

Corrección
  1. No sirve una sola recta: hasta 2 kg el precio no depende del peso, y después sí.
  2. Sea w el peso en kg, w > 0. C(w) = 4 si 0 < w ≤ 2. C(w) = 4 + 1,50(w − 2) si w > 2.
  3. 10 € es más que 4 €, así que cae en el segundo tramo. Ecuación: 4 + 1,50(w − 2) = 10, con w > 2.

El umbral obliga a partir el dominio. Plantear 1,50w + 4 = 10 ignoraría que los primeros 2 kg ya van dentro de los 4 € y contaría de más el tramo inicial. La condición w > 2 forma parte de la ecuación, porque es la que justifica haber elegido esa pieza.

4. Trabajo fijo

Doce personas preparan un acto en 5 horas, al mismo ritmo. Escribe la ecuación que relaciona el número n de personas con un tiempo de 4 horas, e indica la clase de función que liga n y el tiempo. No hace falta un decimal: deja la ecuación.

Corrección
  1. El trabajo es 12 · 5 = 60 personas-hora.
  2. Con tiempo 4 horas: n · 4 = 60, n > 0.
  3. Entre personas y tiempo hay proporcionalidad inversa: t = 60 / n.

El producto n · t se mantiene igual al trabajo total. Eso no es un crecimiento exponencial ni una recta de pendiente constante en n: si n pasa de 12 a 24, el tiempo pasa de 5 a 2,5, no baja en una cantidad fija independiente del punto de partida.

Cierre

Primero la clase, con una frase del relato que la justifique; después la fórmula con unidades; al final la igualdad que hace la pregunta. Si el despeje es el objetivo, espera a la lección de ecuaciones: un modelo mal elegido se resuelve igual de «bien» y responde a otro problema.